Mostre que a energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas discretas pode ser expressada como
U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{2} \sum_{i} q_{i} V_{i}
Mostre também, que no limite de distribuições contínuas, a energia total é dada por
U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{2} \oint_{V} \rho\left(r^{\prime}\right) \varphi\left(r^{\prime}\right) \mathrm{d} V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas em eletrostática:
  1. Que, para um conjunto de cargas pontuais \{q_i\}, a energia potencial eletrostática pode ser escrita como
U_{\mathrm{E}} = \frac12 \sum_{i} q_{i} V_{i},
em que V_{i} é o potencial elétrico no ponto de q_i devido a todas as outras cargas.
2. Que, ao passar para distribuições contínuas de carga, essa soma vira uma integral de volume
U_{\mathrm{E}} = \frac12 \int_{V} \rho(r')\,\varphi(r')\,\mathrm{d}V.
Para isso, vamos usar o argumento de trabalho para montar as cargas uma a uma e depois substituir soma por integral.

Passo 2

Considere montar as N cargas pontuais começando todas no infinito. Ao trazer a i-ésima carga q_i até sua posição r_i, já existe um potencial
V_i^{(\mathrm{ex})} \;=\;\sum_{j=1}^{i-1}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_j}{|r_i-r_j|},
devido às i-1 cargas já instaladas. O trabalho necessário para trazer q_i é
W_i \;=\;q_i\,V_i^{(\mathrm{ex})}.
Somando para todas as cargas, a energia total de montagem é
U_{\mathrm{E}} \;=\;\sum_{i=1}^{N} W_i \;=\;\sum_{i=1}^{N} q_i\,V_i^{(\mathrm{ex})}.

Passo 3

Repare que V_i^{(\mathrm{ex})} soma apenas sobre j<i, mas o potencial total V_i no ponto r_i devido a todas as outras cargas é
V_i \;=\;\sum_{\substack{j=1\j\neq i}}^{N}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_j}{|r_i-r_j|}.
Logo,
\sum_{i=1}^{N} q_i\,V_i^{(\mathrm{ex})} =\frac12\sum_{i=1}^{N}q_i\sum_{\substack{j=1\j\neq i}}^{N}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_j}{|r_i-r_j|} =\frac12\sum_{i=1}^{N}q_i\,V_i.
Assim obtemos a fórmula discreta desejada:
U_{\mathrm{E}}=\frac12\sum_{i}q_i\,V_i.

Passo 4

Para passar ao caso contínuo, substituímos cada carga q_i por \rho(r')\,\mathrm{d}V, e a soma sobre i por uma integral sobre o volume V. O potencial em r' é \varphi(r'). Portanto a energia fica
U_{\mathrm{E}} =\frac12\int_{V}\rho(r')\,\varphi(r')\,\mathrm{d}V.

Resposta

U_{\mathrm{E}}=\frac12\sum_{i}q_{i}V_{i}
U_{\mathrm{E}}=\frac12\int_{V}\rho(r')\,\varphi(r')\,\mathrm{d}V

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