Mostre que a energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas discretas pode ser expressada como
Mostre também, que no limite de distribuições contínuas, a energia total é dada por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas em eletrostática:
- Que, para um conjunto de cargas pontuais
, a energia potencial eletrostática pode ser escrita como
em que
é o potencial elétrico no ponto de
devido a todas as outras cargas.
2. Que, ao passar para distribuições contínuas de carga, essa soma vira uma integral de volume
2. Que, ao passar para distribuições contínuas de carga, essa soma vira uma integral de volume
Para isso, vamos usar o argumento de trabalho para montar as cargas uma a uma e depois substituir soma por integral.
Passo 2
Considere montar as
cargas pontuais começando todas no infinito. Ao trazer a
-ésima carga
até sua posição
, já existe um potencial
devido às
cargas já instaladas. O trabalho necessário para trazer
é
Somando para todas as cargas, a energia total de montagem é
Passo 3
Repare que
soma apenas sobre
, mas o potencial total
no ponto
devido a todas as outras cargas é
Logo,
Assim obtemos a fórmula discreta desejada:
Passo 4
Para passar ao caso contínuo, substituímos cada carga
por
, e a soma sobre
por uma integral sobre o volume
. O potencial em
é
. Portanto a energia fica