Utilize os valores de medidas experimentais fornecidos para calcular o resultado da nova grandeza X e sua respectiva incerteza, propagada a partir das medidas fornecidas. Demonstre seus cálculos (expressão utilizada para a propagação da incerteza)
Medidas experimentais:
\begin{aligned} & m=50,21 \pm 0,05 \\\ & T=4,10 \pm 0,05 \end{aligned}
Grandeza X calculada pela fórmula:
X=4 \pi \frac{m}{T^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a grandeza
X = 4\pi \frac{m}{T^2}
a partir das medidas experimentais
m = 50{,}21 \pm 0{,}05 \quad,\quad T = 4{,}10 \pm 0{,}05
e propagar a incerteza usando derivadas parciais. O conteúdo é propagação de incertezas em função de variáveis independentes.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor nominal de X:
X_{\rm nom} = 4\pi \frac{m}{T^2}
Substituindo m=50{,}21 e T=4{,}10:
X_{\rm nom} =4\pi\frac{50{,}21}{(4{,}10)^2} \approx 4\pi\frac{50{,}21}{16{,}81} \approx 37{,}53

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de X em relação a m e T:
\frac{\partial X}{\partial m} =4\pi\frac{1}{T^2}, \qquad \frac{\partial X}{\partial T} =-8\pi\frac{m}{T^3}.
A fórmula de propagação para variáveis independentes é
u(X) =\sqrt{\Bigl(\frac{\partial X}{\partial m}\,u(m)\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial X}{\partial T}\,u(T)\Bigr)^{2}}.

Passo 4

Substituindo numericamente u(m)=0{,}05, u(T)=0{,}05, m=50{,}21, T=4{,}10:
\frac{\partial X}{\partial m} =4\pi/(4{,}10)^2\approx 0{,}7479, \quad \frac{\partial X}{\partial T} =-8\pi\cdot50{,}21/(4{,}10)^3\approx -18{,}31.
Logo
u(X) =\sqrt{(0{,}7479\cdot0{,}05)^{2} + (-18{,}31\cdot0{,}05)^{2}} \approx\sqrt{0{,}00140 + 0{,}8382} \approx0{,}92.

Resposta

X=(37{,}5 \pm 0{,}9)

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