Duas esferas de massa m estão conectadas por uma mola de constante elástica igual a k. Dois desses conjuntos se encontram a uma distância L um do outro e se movem um em direção ao outro com velocidades iguais a \mathrm{v}_{0}. Depois de quanto tempo a distância entre eles passa a ser L novamente? Considere colisões elásticas.
Resposta: t=\pi \sqrt{\frac{m}{2 k}}+\frac{L}{v_{0}}

Passo 1

O enunciado fala de dois “sistemas” idênticos, cada um formado por duas esferas de massa m ligadas por uma mola de constante k. Esses dois conjuntos estão separados inicialmente por uma distância L e movem-se um em direção ao outro com velocidade de módulo v_{0}. Queremos achar o tempo até que a distância entre eles volte a ser L, considerando colisões perfeitamente elásticas e a dinâmica de oscilação da mola.

Passo 2

Antes e depois da colisão central, os centros de massa dos dois conjuntos aproximam-se e afastam-se com velocidade relativa 2v_{0}. Logo, o tempo total de deslocamento livre (sem considerar a compressão da mola) para fechar e reabrir a folga L é
t_{\text{trans}}=\frac{L}{2v_{0}}+\frac{L}{2v_{0}}=\frac{L}{v_{0}}.

Passo 3

No instante da colisão, apenas as duas esferas que se tocam interagem via mola. Isso se comporta como um oscilador harmônico relativo com massa reduzida
\mu=\frac{m\cdot m}{m+m}=\frac{m}{2}
e constante elástica k. A frequência angular desse modo é
\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}} =\sqrt{\frac{k}{m/2}} =\sqrt{\frac{2k}{m}},
portanto o período completo de oscilação é
T=\frac{2\pi}{\omega} =2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}.
Como em colisão elástica as esferas voltam ao estado de separação inicial após meia oscilação, o tempo de interação elástica vale
t_{\text{col}}=\frac{T}{2} =\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}.

Passo 4

Somando o tempo de aproximação-separação livre e o tempo de compressão-reexpansão da mola, obtemos
t =t_{\text{trans}}+t_{\text{col}} =\frac{L}{v_{0}} +\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}.

Resposta

t=\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}+\frac{L}{v_{0}}.

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