Duas esferas de massa m estão conectadas por uma mola de constante elástica igual a k. Dois desses conjuntos se encontram a uma distância L um do outro e se movem um em direção ao outro com velocidades iguais a
. Depois de quanto tempo a distância entre eles passa a ser L novamente? Considere colisões elásticas.
Resposta:
Passo 1
O enunciado fala de dois “sistemas” idênticos, cada um formado por duas esferas de massa
ligadas por uma mola de constante
. Esses dois conjuntos estão separados inicialmente por uma distância
e movem-se um em direção ao outro com velocidade de módulo
. Queremos achar o tempo até que a distância entre eles volte a ser
, considerando colisões perfeitamente elásticas e a dinâmica de oscilação da mola.
Passo 2
Antes e depois da colisão central, os centros de massa dos dois conjuntos aproximam-se e afastam-se com velocidade relativa
. Logo, o tempo total de deslocamento livre (sem considerar a compressão da mola) para fechar e reabrir a folga
é
Passo 3
No instante da colisão, apenas as duas esferas que se tocam interagem via mola. Isso se comporta como um oscilador harmônico relativo com massa reduzida
e constante elástica
. A frequência angular desse modo é
portanto o período completo de oscilação é
Como em colisão elástica as esferas voltam ao estado de separação inicial após meia oscilação, o tempo de interação elástica vale
Passo 4
Somando o tempo de aproximação-separação livre e o tempo de compressão-reexpansão da mola, obtemos