Considere um circuito RL alimentado por uma fonte de tensão contínua \varepsilon.
a) Calcule a corrente i(t) para qualquer instante de tempo t.
b) Para qual valor de t, em termos da constante de tempo t_{\mathrm{L}}=\mathrm{L} / \mathrm{R}, a corrente atinge 50 \% do seu valor máximo ( \varepsilon / \mathrm{R} )?
c) Calcule a energia dissipada no resistor do instante t=0 até o instante de tempo encontrado no item b). Expresse seu resultado em termos dos parâmetros \varepsilon, \mathrm{R} e L .
d) Calcule a energia armazenada no indutor ( \mathrm{Li}^{2} / 2 ) para qualquer instante de tempo i(t). Após um tempo muito longo, a energia no indutor tenderá a qual valor? Expresse seu resultado em termos dos parâmetros \varepsilon, R e L.
e) A energia dissipada calculada no item c) corresponde a quantos por cento da energia armazenada no indutor após um tempo muito longo?

Passo 1

O enunciado trata da resposta transitória de um circuito série RL submetido a uma fonte de tensão contínua \varepsilon. Precisamos:
– Resolver a equação diferencial
\;L\frac{di}{dt}+R\,i=\varepsilon
para obter i(t).
– Encontrar o instante t em que i(t)=\tfrac12\,(\varepsilon/R) em função de \tau_{L}=L/R.
– Calcular a energia dissipada em R de t=0 até esse instante.
– Determinar a energia armazenada no indutor em qualquer t e seu valor limite quando t\to\infty.
– Comparar a energia dissipada com a energia final armazenada, em percentual.

Passo 2

A solução geral da equação
\;L\frac{di}{dt}+R\,i=\varepsilon
é soma da solução homogênea i_h(t)=K e^{-Rt/L} e de uma particular constante i_p=\varepsilon/R. Impondo i(0)=0 (indutor sem corrente), achamos
i(t) =\frac{\varepsilon}{R}\Bigl(1-e^{-t/\tau_{L}}\Bigr), \quad\text{com}\;\tau_{L}=\frac{L}{R}.

Passo 3

Para i(t)=\tfrac12\,(\varepsilon/R) temos
\frac{\varepsilon}{R}\bigl(1-e^{-t/\tau_{L}}\bigr) =\frac12\,\frac{\varepsilon}{R} \;\Longrightarrow\; 1-e^{-t/\tau_{L}}=\frac12 \;\Longrightarrow\; e^{-t/\tau_{L}}=\frac12 \;\Longrightarrow\; t =\tau_{L}\ln2.

Passo 4

A energia dissipada em R de 0 a t_{50}=\tau_{L}\ln2 é
W_{R} =\int_{0}^{t_{50}}R\,i^{2}(t)\,dt =\frac{\varepsilon^{2}L}{R^{2}}\Bigl(\ln2-\tfrac{5}{8}\Bigr).

Passo 5

A energia armazenada no indutor em qualquer instante é
W_{L}(t) =\tfrac12\,L\,i^{2}(t) =\frac12\,L\Bigl(\frac{\varepsilon}{R}\Bigr)^{2}\Bigl(1-e^{-t/\tau_{L}}\Bigr)^{2}.
Quando t\to\infty, i\to\varepsilon/R e
W_{L}(\infty) =\frac12\,L\Bigl(\frac{\varepsilon}{R}\Bigr)^{2}.

Passo 6

O quociente entre a energia dissipada em t_{50} e a energia final armazenada é
\frac{W_{R}}{W_{L}(\infty)} =\frac{\displaystyle\frac{\varepsilon^{2}L}{R^{2}}\bigl(\ln2-\tfrac{5}{8}\bigr)} {\displaystyle\frac12\,L\bigl(\frac{\varepsilon}{R}\bigr)^{2}} =2\ln2-\tfrac54 \approx0,136,
ou seja cerca de 13{,}6\%.

Resposta

a) \displaystyle i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\bigl(1-e^{-t/\tau_{L}}\bigr),\quad \tau_{L}=\frac{L}{R}.
b) \displaystyle t=\tau_{L}\ln2.
c) \displaystyle W_{R} =\frac{\varepsilon^{2}L}{R^{2}}\Bigl(\ln2-\tfrac{5}{8}\Bigr).
d) \displaystyle W_{L}(t) =\tfrac12\,L\Bigl(\frac{\varepsilon}{R}\Bigr)^{2}\bigl(1-e^{-t/\tau_{L}}\bigr)^{2}, \displaystyle W_{L}(\infty) =\tfrac12\,L\bigl(\tfrac{\varepsilon}{R}\bigr)^{2}.
e) \displaystyle 100\%\times(2\ln2-\tfrac54)\approx13{,}6\%.

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