Duas esferas de mesma massa m e conectadas por uma mola de constante elástica k possuem velocidade v em direção a uma parede. Sabendo que a parede permite colisões elásticas, determine o número de colisões na parede e o tempo dessa interação
Resposta: 2 colisões, t=\pi \sqrt{\frac{m}{2 k}}

Passo 1

O enunciado diz: duas esferas de massa \!m ligadas por uma mola de constante elástica \!k deslocam-se com velocidade \!v em direção a uma parede que realiza colisões perfeitamente elásticas. Pede-se o número de colisões contra a parede e o tempo total dessa interação. O conteúdo principal envolve coordenada do centro de massa, movimento relativo (massa reduzida) e oscilador harmônico com colisões elásticas.

Passo 2

Seja x_1 a posição da esfera mais próxima da parede e x_2 a da outra. Definimos as coordenadas do centro de massa e relativa:
X = \frac{x_1 + x_2}{2},
x = x_2 - x_1 - L_0,
onde L_0 é o comprimento natural da mola. Como as massas são iguais, a massa reduzida do movimento relativo é
\mu = \frac{m}{2}.
No sistema do centro de massa, X evolui com velocidade constante \!v e não interage com a mola.

Passo 3

O movimento relativo é um oscilador harmônico de massa \mu e constante elástica k. A frequência angular desse oscilador vale
\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{2k}{m}}.
Cada colisão de uma esfera com a parede é perfeitamente elástica: isso inverte instantaneamente o sinal da velocidade relativa \dot x sem alterar a energia total no referencial do centro de massa. Assim, toda vez que o oscilador atinge o ponto de contato correspondente, ocorre uma colisão.

Passo 4

Em um semiperíodo do oscilador (metade do período completo T=2\pi/\omega), a velocidade relativa muda de sinal duas vezes (subida e descida da oscilação), ou seja, ocorrem exatamente 2 colisões com a parede. Portanto, o número de colisões é 2.
O tempo total de interação é o semiperíodo do oscilador:
t = \frac{T}{2} = \frac{\pi}{\omega} = \pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = \pi \sqrt{\frac{m/2}{k}} = \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}.

Resposta

O número de colisões é 2 e o tempo de interação é
t = \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}.

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