Duas esferas de mesma massa m e conectadas por uma mola de constante elástica k possuem velocidade v em direção a uma parede. Sabendo que a parede permite colisões elásticas, determine o número de colisões na parede e o tempo dessa interação
Resposta: 2 colisões,
Passo 1
O enunciado diz: duas esferas de massa
ligadas por uma mola de constante elástica
deslocam-se com velocidade
em direção a uma parede que realiza colisões perfeitamente elásticas. Pede-se o número de colisões contra a parede e o tempo total dessa interação. O conteúdo principal envolve coordenada do centro de massa, movimento relativo (massa reduzida) e oscilador harmônico com colisões elásticas.
Passo 2
Seja
a posição da esfera mais próxima da parede e
a da outra. Definimos as coordenadas do centro de massa e relativa:
onde
é o comprimento natural da mola. Como as massas são iguais, a massa reduzida do movimento relativo é
No sistema do centro de massa,
evolui com velocidade constante
e não interage com a mola.
Passo 3
O movimento relativo é um oscilador harmônico de massa
e constante elástica
. A frequência angular desse oscilador vale
Cada colisão de uma esfera com a parede é perfeitamente elástica: isso inverte instantaneamente o sinal da velocidade relativa
sem alterar a energia total no referencial do centro de massa. Assim, toda vez que o oscilador atinge o ponto de contato correspondente, ocorre uma colisão.
Passo 4
Em um semiperíodo do oscilador (metade do período completo
), a velocidade relativa muda de sinal duas vezes (subida e descida da oscilação), ou seja, ocorrem exatamente 2 colisões com a parede. Portanto, o número de colisões é 2.
O tempo total de interação é o semiperíodo do oscilador:
O tempo total de interação é o semiperíodo do oscilador:
Resposta
O número de colisões é 2 e o tempo de interação é