Duas esferas metálicas contendo as cargas Q e 2 Q estão separadas pela distância de 1,0 \mathrm{~m}. Podemos dizer que, a meia distância entre as esferas, o campo elétrico gerado por:
a) ambas as esferas é igual.
b) uma esfera é 1 / 2 do campo gerado pela outra esfera.
c) uma esfera é 1 / 3 do campo gerado pela outra esfera.
d) uma esfera é 1 / 4 do campo gerado pela outra esfera.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas metálicas com cargas \,Q e \,2Q separadas por uma distância de \,1,0\\ \mathrm{m}. Pede-se comparar o módulo do campo elétrico gerado por cada esfera exatamente na meia distância entre elas. As informações relevantes que temos são:
  • carga da esfera A: \,Q;
  • carga da esfera B: \,2Q;
  • distância entre os centros das esferas: \,1,0\\ \mathrm{m};
  • ponto de interesse: ponto médio entre as esferas (logo a mesma distância de cada centro).

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagarzinho): o campo elétrico criado por uma carga puntiforme (ou por uma esfera condutora vista de fora) tem módulo dado pela Lei de Coulomb:
E = k\,\frac{Q}{r^{2}}.
Aqui:
  • \,E é o módulo do campo elétrico no ponto considerado (unidade \mathrm{N/C});
  • \,k é a constante eletrostática, \,k \approx 9{,}0\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} (mas não precisamos do valor numérico aqui, só saber que é fator comum);
  • \,Q é a carga que cria o campo;
  • \,r é a distância do centro da carga até o ponto onde se calcula \,E.
    Importante: como estamos no ponto médio e as esferas são tratadas como cargas concentradas em seus centros para pontos externos, as distâncias até as duas esferas são iguais — portanto, se as distâncias são iguais, o campo de cada uma é proporcional à sua carga.

Passo 3

Calcular a distância do ponto médio até cada esfera. Como a separação entre centros é \,1,0\\ \mathrm{m}, a meia distância é
r = \frac{1,0}{2} = 0,5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escrever o módulo do campo gerado por cada esfera no ponto médio usando a fórmula de Coulomb.
Para a esfera com carga \,Q:
E_{1} = k\,\frac{Q}{(0,5)^{2}}.
Para a esfera com carga \,2Q:
E_{2} = k\,\frac{2Q}{(0,5)^{2}}.

Passo 5

Fazer as contas com (0,5)^{2}. Temos (0,5)^{2}=0,25. Substituindo:
E_{1} = k\,\frac{Q}{0,25}=4\,kQ,
E_{2} = k\,\frac{2Q}{0,25}=8\,kQ.

Passo 6

Calcular a razão entre os campos (isso responde diretamente qual fração um campo é do outro):
\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{4\,kQ}{8\,kQ}=\frac{1}{2}.
Observe que \,k e \,Q cancelam — o que importa aqui é que as distâncias até o ponto são iguais, então o campo é proporcional à carga.

Passo 7

Conclusão didática e rápida: no ponto médio o campo gerado pela esfera com carga \,Q tem módulo igual a metade do campo gerado pela esfera com carga \,2Q. (Se as cargas tiverem o mesmo sinal, os vetores campo apontarão em sentidos opostos; aqui a questão perguntou a comparação dos módulos.)

Resposta

b) uma esfera é 1/2 do campo gerado pela outra esfera.

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