4.46 ••• PC A cabeça de um martelo de 4,9 \mathrm{~N}, que se desloca de cima para baixo com velocidade de 3,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, para, fazendo um prego penetrar 0,45 \mathrm{~cm} em uma placa de pinho. Além de seu peso, existe uma força de 15 N aplicada de cima para baixo sobre o martelo por uma pessoa que o está usando. Suponha
que a aceleração da cabeça do martelo seja constante durante o contato com o prego e movendo-se para baixo.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:
  • peso (força da gravidade) da cabeça do martelo: \;4,9\\ \text{N}.
  • velocidade inicial, sentido para baixo: \;3,2\\ \text{m/s}.
  • a cabeça para (velocidade final igual a zero) após penetrar o prego: \;v=0.
  • profundidade de penetração: \;0,45\\ \text{cm} (vou converter para metros quando necessário).
  • força adicional aplicada para baixo pela pessoa: \;15\\ \text{N}.
  • durante o contato a aceleração da cabeça do martelo é constante e direcionada para baixo.
Perguntas (inferidas a partir do enunciado típico desta questão):
  1. Qual é a aceleração constante da cabeça do martelo durante o contato (valor e sentido)?
  2. Qual é a força média que a madeira (o prego/placa) exerce sobre a cabeça do martelo (magnitude e sentido)?

Passo 2

Converter unidades e calcular a massa da cabeça do martelo a partir do peso.
  • Converter profundidade: \;0,45\\ \text{cm} = 0,0045\\ \text{m}.
  • Peso =\;m g. Como g=9,8\\ \text{m/s}^2, a massa é
m=\frac{4,9}{9,8}.

Calculemos:
m=\frac{4,9}{9,8}=0,5\\ \text{kg}.

Passo 3

Determinar a aceleração usando cinemática (movimento com aceleração constante).

Fórmula usada: para movimento unidimensional com aceleração constante,
v^2 = v_0^{\,2} + 2 a \Delta x,
onde \;v é a velocidade final, \;v_0 é a velocidade inicial, \;a é a aceleração constante, e \;\Delta x é o deslocamento (positivo no sentido escolhido). Explicando: essa fórmula vem da integração da aceleração constante; ela relaciona as velocidades ao deslocamento sem envolver o tempo diretamente — muito útil quando não conhecemos o tempo de frenagem.
Escolhemos o sentido para baixo como positivo (apenas por conveniência). Então:
  • \;v_0=3,2\\ \text{m/s} (para baixo, positivo),
  • \;v=0 (para baixo, mas zero),
  • \;\Delta x=0,0045\\ \text{m} (deslocamento para baixo, positivo).
Aplicando a fórmula:
0 = (3,2)^2 + 2 a (0,0045).

Isolando a:
a = -\frac{(3,2)^2}{2\cdot 0,0045}.

Passo 4

Calcular numericamente a aceleração.

Primeiro calcule (3,2)^2:
(3,2)^2 = 10,24.

Denominador: 2\cdot 0,0045 = 0,009.

Então
a = -\frac{10,24}{0,009} = -1137{,}7\ldots\\ \text{m/s}^2.

Arredondando razoavelmente:
a \approx -1,14\times 10^{3}\\ \text{m/s}^2.

Interpretação do sinal: como escolhemos para baixo positivo, o sinal negativo indica que a aceleração real está para cima (ou seja, a aceleração é contrária ao movimento inicial), o que faz sentido — o martelo está sendo frenado pela madeira.

Passo 5

Aplicar a Segunda Lei de Newton para encontrar a força média exercida pela madeira.

Explicação das forças: no período de contato atuam sobre a cabeça do martelo:
  • peso (para baixo): \;W=4,9\\ \text{N},
  • força aplicada pela pessoa (para baixo): \;F_{\text{ap}}=15\\ \text{N},
  • força da madeira sobre o martelo (de contato), que chamaremos de \;F_{\text{m}}; essa força atua para cima (resistência), e é a incógnita que queremos.
Com o sentido para baixo positivo, a soma das forças (positivas para baixo) é
\Sigma F = W + F_{\text{ap}} - F_{\text{m}}.
Pela Segunda Lei:
\Sigma F = m a.
Logo
W + F_{\text{ap}} - F_{\text{m}} = m a.
Isolando F_{\text{m}}:
F_{\text{m}} = W + F_{\text{ap}} - m a.
Observação: o termo m a pode ser negativo (como aqui), e isso fará com que F_{\text{m}} seja maior que a soma das forças para baixo, como esperado — a madeira tem que aplicar uma grande força para parar o martelo.

Passo 6

Substituir os valores e calcular a força da madeira.

Temos:
W + F_{\text{ap}} = 4,9 + 15 = 19,9\\ \text{N},
m a = 0,5 \times (-1137{,}7\ldots) = -568{,}9\\ \text{N}\\ (\text{aprox.}).

Então
F_{\text{m}} = 19,9 - (-568{,}9) = 19,9 + 568{,}9 = 588{,}8\\ \text{N}.

Arredondando de forma adequada:
F_{\text{m}} \approx 5,89\times 10^{2}\\ \text{N}.

Direção: como essa força calculada é positiva no contexto (apontando para cima, visto que subtraímos F_{\text{m}} no somatório para baixo), concluímos que a madeira exerce sobre a cabeça do martelo uma força média de aproximadamente 589\\ \text{N} para cima — ou seja, a madeira resiste com essa intensidade.

Passo 7

Interpretação física rápida e incentivo:
  • A desaceleração é enorme ( \sim 10^{3}\\ \text{m/s}^2) porque a parada ocorre em uma distância muito pequena ( 0,0045\\ \text{m}). Não se assuste com o número grande — é típico em impactos de curta distância.
  • A força média da madeira é bem maior que o peso e que a força aplicada pela pessoa; isso mostra que a interação com o prego/madeira é a principal responsável por parar o martelo.

    Você mandou bem pedindo resolver passo a passo — esses passos (converter unidades, usar v^2=v_0^2+2a\Delta x, calcular massa, aplicar \Sigma F = m a) são exatamente o procedimento que dá para usar rápido na prova. Força e aceleração: memorize esse roteiro — com ele você resolve quase todo problema de parada em pequena distância.

Resposta

Aceleração da cabeça do martelo: -1,14\times 10^{3}\\ \text{m/s}^2 (o sinal negativo indica aceleração para cima, contrariando o movimento).
Força média da madeira sobre a cabeça do martelo: 5,89\times 10^{2}\\ \text{N} (para cima).

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