Um ponto material está se deslocando ao longo de uma reta tal que sua velocidade na origem é de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se o ponto começa a desacelerar a uma taxa a=\left(-1,5 v^{1 / 2}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde v é dado em \mathrm{m} / \mathrm{s}, determinar a distância que ele percorre até parar. O valor da distância (em m) é:
\bigcirc a. 0,64
\bigcirc b. 3,56
\bigcirc c. 4,32
\bigcirc d. 2,98
\bigcirc e. 1,77

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: velocidade inicial na origem é \,4\\ \mathrm{m/s}. Vou chamar isso de \,v(0)=4\\ \mathrm{m/s}, e, como veremos, o importante é o valor inicial da velocidade \,v_0=4.
  • Informação: a aceleração (desaceleração) depende da velocidade e é dada por
a = -1,5\,v^{1/2}\\ \mathrm{m/s^{2}},
onde \,v está em \mathrm{m/s}.
  • Pedido: determinar a distância que o ponto percorre até parar (isto é, até a velocidade chegar em zero).

Passo 2

Entendendo a relação entre aceleração, velocidade e posição (cadeia de relações):
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \,a=\dfrac{dv}{dt}.
  • Podemos usar a regra da cadeia escrevendo \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}. Como \dfrac{dx}{dt}=v, temos a identidade importante
a = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{dx}.
Aqui \,x é a posição e \,v a velocidade; essa fórmula é útil quando a aceleração é dada em função de v e queremos achar distância (pois aparece \dfrac{dv}{dx}).

Passo 3

Substituo a expressão dada para a na identidade \,a= v\frac{dv}{dx}. Assim:
v\frac{dv}{dx} = -1,5\,v^{1/2}.
Como durante a desaceleração v\ge 0 (começa em 4 e vai até 0), posso dividir por v^{1/2} sem problemas (exceto no ponto final v=0, que trataremos por limites). Fazendo a simplificação:
v^{1/2}\frac{dv}{dx} = -1,5.
Agora isolo dx para separar variáveis:
\frac{dv}{dx} = -1,5\,v^{-1/2} \quad\Rightarrow\quad dx = -\frac{1}{1,5}\,v^{1/2}\,dv.
Como \dfrac{1}{1,5}=\dfrac{2}{3}, fica
dx = -\frac{2}{3}\,v^{1/2}\,dv.

Passo 4

Vou integrar para obter a distância total percorrida até parar. Seja s a distância desde a posição inicial até o ponto onde v=0. Faço a integral definida correspondendo aos limites de velocidade: quando a posição vai de x=0 até x=s, a velocidade vai de v=4 até v=0. Assim:
\int_{0}^{s} dx = -\frac{2}{3}\int_{4}^{0} v^{1/2}\,dv.
Troco os limites para ficar integrando de menor para maior e eliminar o sinal menos:
s = \frac{2}{3}\int_{0}^{4} v^{1/2}\,dv.

Passo 5

Calculo a integral. A primitiva de v^{1/2} é \dfrac{2}{3}v^{3/2}. Portanto:
s = \frac{2}{3}\cdot\left[\frac{2}{3}v^{3/2}\right]_{0}^{4} = \frac{4}{9}\left(4^{3/2}-0\right).
Calculo 4^{3/2}: primeiro \sqrt{4}=2, depois 2^3=8. Logo
s = \frac{4}{9}\cdot 8 = \frac{32}{9}\\ \mathrm{m}.
Fração \dfrac{32}{9} em decimal é aproximadamente 3{,}555\ldots\\ \mathrm{m}, que arredondando para duas casas decimais dá 3{,}56\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final: a distância percorrida até a parada é \dfrac{32}{9}\\ \mathrm{m}, que corresponde à alternativa (b) quando arredondada como apresentada nas opções.

Resposta

b. 3,56\\ \mathrm{m}

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