Um ponto material está se deslocando ao longo de uma reta tal que sua velocidade na origem é de
. Se o ponto começa a desacelerar a uma taxa
, onde
é dado em
, determinar a distância que ele percorre até parar. O valor da distância (em m) é:
a. 0,64
b. 3,56
c. 4,32
d. 2,98
e. 1,77
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: velocidade inicial na origem é
. Vou chamar isso de , e, como veremos, o importante é o valor inicial da velocidade . - Informação: a aceleração (desaceleração) depende da velocidade e é dada por
onde
está em
.
- Pedido: determinar a distância que o ponto percorre até parar (isto é, até a velocidade chegar em zero).
Passo 2
Entendendo a relação entre aceleração, velocidade e posição (cadeia de relações):
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
. - Podemos usar a regra da cadeia escrevendo
. Como , temos a identidade importante
Aqui
é a posição e
a velocidade; essa fórmula é útil quando a aceleração é dada em função de
e queremos achar distância (pois aparece
).
Passo 3
Substituo a expressão dada para
na identidade
. Assim:
Como durante a desaceleração
(começa em
e vai até
), posso dividir por
sem problemas (exceto no ponto final
, que trataremos por limites). Fazendo a simplificação:
Agora isolo
para separar variáveis:
Como
, fica
Passo 4
Vou integrar para obter a distância total percorrida até parar. Seja
a distância desde a posição inicial até o ponto onde
. Faço a integral definida correspondendo aos limites de velocidade: quando a posição vai de
até
, a velocidade vai de
até
. Assim:
Troco os limites para ficar integrando de menor para maior e eliminar o sinal menos:
Passo 5
Calculo a integral. A primitiva de
é
. Portanto:
Calculo
: primeiro
, depois
. Logo
Fração
em decimal é aproximadamente
, que arredondando para duas casas decimais dá
.
Passo 6
Interpretação final: a distância percorrida até a parada é
, que corresponde à alternativa (b) quando arredondada como apresentada nas opções.
Resposta
b.