Duas esferas metálicas isoladas A e B possuem raios R e 2 R, respectivamente, e a mesma carga q. (a) A capacitância de A é maior, menor ou igual a de B? (b) A densidade de energia imediatamente fora da superfície de A é maior, menor ou igual à de B ? © A densidade de energia à distância de 3 R do centro de A é maior, menor ou igual àquela à mesma distância do centro de B? (d) A energia total do campo elétrico devida a A é maior, menor ou igual à de B?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: temos duas esferas metálicas isoladas A e B, ambas com carga , mas A tem raio e B tem raio .
Conteúdo da matéria:
  • Capacitância de uma esfera isolada
  • Campo elétrico fora de uma esfera carregada (Lei de Gauss)
  • Densidade de energia do campo elétrico
  • Energia total armazenada no campo elétrico
O que vamos precisar:
  1. Fórmula da capacitância de uma esfera isolada:
    .
  2. Campo elétrico fora de uma esfera carregada:
    .
  3. Densidade de energia elétrica:
    .
  4. Energia total do campo da esfera:
    .

Passo 2

(a) Capacitância
– Teoria: a capacitância de uma esfera isolada depende só do raio, .
– Para A: .
– Para B: .
Logo, .

Passo 3

(b) Densidade de energia imediatamente fora da superfície
– Teoria: logo na superfície a distância u = varepsilon02,E^2, E(R)=q4pivarepsilon0,R^2 é justamente o raio. A densidade é
uA=varepsilon02l(q4pivarepsilon0,R^2r)^2propto1R^4
– Para A:
EB=q4pivarepsilon0,(2R)^2=14,EA Longrightarrow uB=varepsilon02l(EA4r)^2 =uA16
– Para B (raio ):
Assim, .

Passo 4

© Densidade de energia a EA(3R)=EB(3R)=q4pivarepsilon0,(3R)^2 do centro
– Teoria: para u=varepsilon02E^2 (fora da esfera), o campo depende só de , não do raio interno.
Então a densidade
vai ser igual nos dois casos. Logo, em .

Passo 5

(d) Energia total do campo elétrico
– Teoria: a energia armazenada no campo de uma esfera isolada é
U=q^28pivarepsilon0,R
– Para A: .
– Para B: .
Logo, .

Resposta

(a)
(b) (logo fora da superfície)
© em
(d)

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