Duas espaçonaves estão em rota de colisão.
Se a velocidade das duas espaçonaves em relação à Terra é 30.000 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (cerca de 100 vezes a velocidade do som), qual é a velocidade de uma em relação à outra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Informação: a velocidade de cada espaçonave em relação à Terra é 30\,000\\ \mathrm{m/s}.
  • Informação implícita: as espaçonaves estão em rota de colisão (ou seja, aproximam-se uma da outra em sentidos opostos).
  • Pergunta: qual é a velocidade de uma espaçonave em relação à outra?

Passo 2

Vamos começar com a noção mais simples (a que se usa em problemas de física clássica): o que significa “velocidade de uma em relação à outra”?
Definição prática: se no referencial da Terra uma espaçonave A tem velocidade v_A e a outra B tem velocidade v_B, então a velocidade de B vista por A (velocidade relativa) é, na mecânica clássica, a diferença vetorial entre as velocidades; no caso de movimentos colineares e opostos, essa diferença vira soma de módulos. Aqui, como elas vão uma contra a outra, os sentidos são opostos e a velocidade relativa clássica é
v_{\text{rel,clássica}} = |v_A| + |v_B|.á

Passo 3

Aplicando os números no caso clássico: cada uma tem 30\,000\\ \mathrm{m/s}, então
v_{\text{rel,clássica}} = 30\,000\\ \mathrm{m/s} + 30\,000\\ \mathrm{m/s} = 60\,000\\ \mathrm{m/s}.á
Esse é o resultado que a gente usaria num problema de mecânica newtoniana — fácil de calcular e intuitivo.

Passo 4

Agora um comentário importante antes de prosseguir: quando as velocidades envolvidas são uma fração apreciável da velocidade da luz c, devemos usar a regra relativística de adição de velocidades. Vamos checar se é necessário: a velocidade dada é 30\,000\\ \mathrm{m/s}. A velocidade da luz vale aproximadamente c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. A razão é
\frac{30\,000}{3\times10^{8}} = 1{,}0\times10^{-4},
ou seja, 0{,}01\% da velocidade da luz — extremamente pequena. Isso indica que os efeitos relativísticos serão praticamente desprezíveis, mas vou mostrar o cálculo relativístico para você ver a diferença e aprender a fórmula (útil caso as velocidades fossem maiores).

Passo 5

Fórmula relativística (movimento colinear): se no referencial S uma partícula tem velocidade u e outra tem velocidade v no sentido oposto, a velocidade de uma em relação à outra (por exemplo, velocidade de B medida em A) é dada por
u'=\frac{u+v}{1+\dfrac{uv}{c^{2}}},
onde:
  • u e v são as velocidades medidas no mesmo referencial (aqui, a Terra),
  • c é a velocidade da luz,
  • u' é a velocidade combinada no referencial da primeira partícula.
    Essa fórmula vem da transformação de velocidades da relatividade restrita (Lorentz). Note que quando uv\ll c^{2} o termo \dfrac{uv}{c^{2}} é muito pequeno e a fórmula reduz-se aproximadamente à soma clássica u+v.

Passo 6

Aplicando a fórmula com u=30\,000\\ \mathrm{m/s} e v=30\,000\\ \mathrm{m/s} e c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
Calcule primeiro o produto normalizado:
\frac{uv}{c^{2}}=\frac{(30\,000)(30\,000)}{(3\times10^{8})^{2}}=\frac{9\times10^{8}}{9\times10^{16}}=1{,}0\times10^{-8}.
Agora a velocidade relativa relativística:
u'=\frac{30\,000+30\,000}{1+1{,}0\times10^{-8}}=\frac{60\,000}{1{,}00000001}\approx 59\,999{,}9994\\ \mathrm{m/s}.
A diferença em relação ao resultado clássico é muito pequena: cerca de 0{,}0006\\ \mathrm{m/s} (o resultado relativístico é menor).

Passo 7

Interpretação e incentivo: para o enunciado dado, a resposta prática que você usará numa prova é a clássica 60\,000\\ \mathrm{m/s} — porque 30\,000\\ \mathrm{m/s} é muito menor que c e efeitos relativísticos são desprezíveis. Mas é bom saber a fórmula relativística para casos em que as velocidades são frações relevantes de c.

Resposta

60\,000\\ \mathrm{m/s} (valor clássico)
59\,999{,}9994\\ \mathrm{m/s} (valor relativístico aproximado)

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