Duas espaçonaves estão em rota de colisão.
Se a velocidade das duas espaçonaves em relação à Terra é
(cerca de 100 vezes a velocidade do som), qual é a velocidade de uma em relação à outra?
Se a velocidade das duas espaçonaves em relação à Terra é
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Informação: a velocidade de cada espaçonave em relação à Terra é
. - Informação implícita: as espaçonaves estão em rota de colisão (ou seja, aproximam-se uma da outra em sentidos opostos).
- Pergunta: qual é a velocidade de uma espaçonave em relação à outra?
Passo 2
Vamos começar com a noção mais simples (a que se usa em problemas de física clássica): o que significa “velocidade de uma em relação à outra”?
Definição prática: se no referencial da Terra uma espaçonave A tem velocidade e a outra B tem velocidade
, então a velocidade de B vista por A (velocidade relativa) é, na mecânica clássica, a diferença vetorial entre as velocidades; no caso de movimentos colineares e opostos, essa diferença vira soma de módulos. Aqui, como elas vão uma contra a outra, os sentidos são opostos e a velocidade relativa clássica é
Definição prática: se no referencial da Terra uma espaçonave A tem velocidade
Passo 3
Aplicando os números no caso clássico: cada uma tem
, então
Esse é o resultado que a gente usaria num problema de mecânica newtoniana — fácil de calcular e intuitivo.
Passo 4
Agora um comentário importante antes de prosseguir: quando as velocidades envolvidas são uma fração apreciável da velocidade da luz
, devemos usar a regra relativística de adição de velocidades. Vamos checar se é necessário: a velocidade dada é
. A velocidade da luz vale aproximadamente
. A razão é
ou seja,
da velocidade da luz — extremamente pequena. Isso indica que os efeitos relativísticos serão praticamente desprezíveis, mas vou mostrar o cálculo relativístico para você ver a diferença e aprender a fórmula (útil caso as velocidades fossem maiores).
Passo 5
Fórmula relativística (movimento colinear): se no referencial S uma partícula tem velocidade
e outra tem velocidade
no sentido oposto, a velocidade de uma em relação à outra (por exemplo, velocidade de B medida em A) é dada por
onde:
-
e são as velocidades medidas no mesmo referencial (aqui, a Terra), -
é a velocidade da luz, -
é a velocidade combinada no referencial da primeira partícula.
Essa fórmula vem da transformação de velocidades da relatividade restrita (Lorentz). Note que quandoo termo é muito pequeno e a fórmula reduz-se aproximadamente à soma clássica .
Passo 6
Aplicando a fórmula com
e
e
:
Calcule primeiro o produto normalizado:
Calcule primeiro o produto normalizado:
Agora a velocidade relativa relativística:
A diferença em relação ao resultado clássico é muito pequena: cerca de
(o resultado relativístico é menor).
Passo 7
Interpretação e incentivo: para o enunciado dado, a resposta prática que você usará numa prova é a clássica
— porque
é muito menor que
e efeitos relativísticos são desprezíveis. Mas é bom saber a fórmula relativística para casos em que as velocidades são frações relevantes de
.