Mostre que o resultado negativo do experimento de Michelson-Morley pode ser explicado se o braço do interferô-metro paralelo à direção do movimento sofrer uma contração de
.
Passo 1
O que o exercício pede: mostrar que o resultado negativo (ou seja, a ausência de mudança no padrão de franjas) do experimento de Michelson–Morley fica explicado se o braço do interferômetro paralelo à direção do movimento sofrer uma contração de fator
.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo que preciso está aqui):
-
é a velocidade do interferômetro em relação ao éter (ou seja, a velocidade do conjunto através do meio hipotético). -
é a velocidade da luz no éter. - Vou chamar de
o comprimento do braço que está na direção perpendicular ao movimento (este comprimento é o comprimento “medido no próprio interferômetro” ou simplesmente o comprimento útil do braço perpendicular). - O braço paralelo ao movimento tem, segundo a hipótese proposta, comprimento contraído igual a
. - O objetivo prático: calcular o tempo total que a luz leva para ir e voltar pelo braço paralelo e pelo braço perpendicular, e verificar que esses tempos se tornam iguais se adotarmos a contração proposta — daí a ausência de diferença de fase e, portanto, a ausência de deslocamento de franjas.
Não vou resolver nada neste passo; só deixei claro o que pediram e quais dados vou usar.
Passo 2
Começando a resolução: calcular o tempo total de ida e volta da luz no braço paralelo (o que está junto à direção do movimento). Vou explicar cada fórmula que uso.
Pensamento físico simples para o braço paralelo:
- Quando a luz vai no sentido do movimento, o espelho-alvo está se afastando com velocidade
, então a velocidade relativa com que a luz “alcança” esse espelho é . - No retorno, a luz vai no sentido contrário ao movimento do conjunto, então o espelho (agora a fonte / divisora de feixe) está vindo ao encontro da luz com velocidade
, e a velocidade relativa é . - Se o comprimento do braço paralelo (medido no referencial do éter) é
, os tempos de ida e volta são:
Aqui cada variável significa:
é o comprimento físico do braço paralelo no referencial em que a luz se propaga com velocidade
;
e
definidos acima. Essas divisões vêm da fórmula básica tempo = distância/velocidade.
Passo 3
Somando ida e volta no braço paralelo e simplificando a expressão.
O tempo total no braço paralelo é
Coloco em evidência
:
Agora somo as frações (colocando sobre um denominador comum):
Portanto
Passo 4
Agora substituo a hipótese de contração de Lorentz–FitzGerald para o comprimento paralelo.
Pela hipótese, o comprimento do braço paralelo é
Substituo essa expressão em
:
Simplificando a raiz sobre o quadrado no denominador:
. Assim obtemos
Passo 5
Agora calculo o tempo total no braço perpendicular. Vou explicar com cuidado a geometria e a fórmula usada.
Geometria do braço perpendicular: enquanto a luz vai do divisor até o espelho perpendicular, o conjunto (e o espelho) se desloca lateralmente com velocidade
. A luz segue uma trajetória inclinada no referencial do éter, formando um triângulo retângulo: a hipotenusa tem comprimento
(onde
é o tempo de ida), um cateto é o comprimento
(distância fixa entre divisora e espelho na direção perpendicular) e o outro cateto é o deslocamento horizontal do espelho, que vale
.
Logo, pela relação de Pitágoras,
Desenvolvendo,
Logo o tempo de ida é
Note que essa dedução usou só trigonometria e a relação velocidade = distância/tempo; expliquei cada passo para você poder refazer na prova.
Passo 6
Tempo total no braço perpendicular (ida + volta). Como o processo de volta é simétrico (o espelho volta ao encontro da luz com a mesma geometria), o tempo de volta é igual ao tempo de ida. Assim
Passo 7
Comparação entre os dois tempos e conclusão matemática.
Do Passo 4 obtivemos
e do Passo 6 obtivemos
Portanto
Isto significa que o tempo total que a luz leva nos dois braços é o mesmo quando o braço paralelo está contraído pelo fator
. Como a diferença de tempo entre os dois trajetos é o que causaria uma diferença de fase (e, consequentemente, um deslocamento de franjas), a igualdade dos tempos implica ausência de deslocamento — isto é, o resultado negativo do experimento é explicado.
Passo 8
Interpretação física e comentário didático rápido (para você usar na prova e entender o porquê).
- A ideia central: sem contração,
e são diferentes e variarão quando se gira o interferômetro, produzindo deslocamento de franjas; com a contração proposta, a diferença some exatamente. - A hipótese de contração foi proposta historicamente (FitzGerald, Lorentz) para salvar o éter diante do resultado nulo; mais tarde a Relatividade Especial de Einstein deu uma fundamentação mais profunda, mostrando que essa contração é uma consequência natural das transformações de Lorentz.
- Na prática para prova: mostre os tempos como fiz (dividindo ida/volta no paralelo, usando Pitágoras no perpendicular), substitua
e mostre a igualdade. Isso basta para “mostrar” que a contração explica o resultado nulo.
Resposta
portanto não há diferença de tempo entre os dois braços e o experimento de Michelson–Morley teria resultado nulo se o braço paralelo estivesse contraído por
.