Mostre que o resultado negativo do experimento de Michelson-Morley pode ser explicado se o braço do interferô-metro paralelo à direção do movimento sofrer uma contração de \left(1-\mathrm{v}^{2} / \mathrm{c}^{2}\right)^{1 / 2}.

Passo 1

O que o exercício pede: mostrar que o resultado negativo (ou seja, a ausência de mudança no padrão de franjas) do experimento de Michelson–Morley fica explicado se o braço do interferômetro paralelo à direção do movimento sofrer uma contração de fator \left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{1/2}.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo que preciso está aqui):
  • v é a velocidade do interferômetro em relação ao éter (ou seja, a velocidade do conjunto através do meio hipotético).
  • c é a velocidade da luz no éter.
  • Vou chamar de L o comprimento do braço que está na direção perpendicular ao movimento (este comprimento é o comprimento “medido no próprio interferômetro” ou simplesmente o comprimento útil do braço perpendicular).
  • O braço paralelo ao movimento tem, segundo a hipótese proposta, comprimento contraído igual a L_{\parallel} = L\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
  • O objetivo prático: calcular o tempo total que a luz leva para ir e voltar pelo braço paralelo e pelo braço perpendicular, e verificar que esses tempos se tornam iguais se adotarmos a contração proposta — daí a ausência de diferença de fase e, portanto, a ausência de deslocamento de franjas.
Não vou resolver nada neste passo; só deixei claro o que pediram e quais dados vou usar.

Passo 2

Começando a resolução: calcular o tempo total de ida e volta da luz no braço paralelo (o que está junto à direção do movimento). Vou explicar cada fórmula que uso.
Pensamento físico simples para o braço paralelo:
  • Quando a luz vai no sentido do movimento, o espelho-alvo está se afastando com velocidade v, então a velocidade relativa com que a luz “alcança” esse espelho é c-v.
  • No retorno, a luz vai no sentido contrário ao movimento do conjunto, então o espelho (agora a fonte / divisora de feixe) está vindo ao encontro da luz com velocidade v, e a velocidade relativa é c+v.
  • Se o comprimento do braço paralelo (medido no referencial do éter) é L_{\parallel}, os tempos de ida e volta são: t_{\text{ida}}=\dfrac{L_{\parallel}}{c-v},\qquad t_{\text{volta}}=\dfrac{L_{\parallel}}{c+v}.
Aqui cada variável significa: L_{\parallel} é o comprimento físico do braço paralelo no referencial em que a luz se propaga com velocidade c; c e v definidos acima. Essas divisões vêm da fórmula básica tempo = distância/velocidade.

Passo 3

Somando ida e volta no braço paralelo e simplificando a expressão.
O tempo total no braço paralelo é
t_{\parallel}=t_{\text{ida}}+t_{\text{volta}}=\dfrac{L_{\parallel}}{c-v}+\dfrac{L_{\parallel}}{c+v}.
Coloco em evidência L_{\parallel}:
t_{\parallel}=L_{\parallel}\left(\dfrac{1}{c-v}+\dfrac{1}{c+v}\right).
Agora somo as frações (colocando sobre um denominador comum):
\dfrac{1}{c-v}+\dfrac{1}{c+v}=\dfrac{(c+v)+(c-v)}{(c-v)(c+v)}=\dfrac{2c}{c^{2}-v^{2}}.
Portanto
t_{\parallel}=L_{\parallel}\cdot\dfrac{2c}{c^{2}-v^{2}}=\dfrac{2L_{\parallel}}{c\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)}.

Passo 4

Agora substituo a hipótese de contração de Lorentz–FitzGerald para o comprimento paralelo.
Pela hipótese, o comprimento do braço paralelo é
L_{\parallel}=L\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
Substituo essa expressão em t_{\parallel}:
t_{\parallel}=\dfrac{2\;L\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{c\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)}.
Simplificando a raiz sobre o quadrado no denominador: \dfrac{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}. Assim obtemos
t_{\parallel}=\dfrac{2L}{c\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.

Passo 5

Agora calculo o tempo total no braço perpendicular. Vou explicar com cuidado a geometria e a fórmula usada.
Geometria do braço perpendicular: enquanto a luz vai do divisor até o espelho perpendicular, o conjunto (e o espelho) se desloca lateralmente com velocidade v. A luz segue uma trajetória inclinada no referencial do éter, formando um triângulo retângulo: a hipotenusa tem comprimento c\,t (onde t é o tempo de ida), um cateto é o comprimento \,L (distância fixa entre divisora e espelho na direção perpendicular) e o outro cateto é o deslocamento horizontal do espelho, que vale v\,t.
Logo, pela relação de Pitágoras,
(c\,t)^{2}=L^{2}+(v\,t)^{2}.
Desenvolvendo,
c^{2}t^{2}=L^{2}+v^{2}t^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=L^{2}.
Logo o tempo de ida é
t_{\text{ida}}=\dfrac{L}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}=\dfrac{L}{c\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Note que essa dedução usou só trigonometria e a relação velocidade = distância/tempo; expliquei cada passo para você poder refazer na prova.

Passo 6

Tempo total no braço perpendicular (ida + volta). Como o processo de volta é simétrico (o espelho volta ao encontro da luz com a mesma geometria), o tempo de volta é igual ao tempo de ida. Assim
t_{\perp}=2\cdot t_{\text{ida}}=2\cdot\dfrac{L}{c\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}=\dfrac{2L}{c\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.

Passo 7

Comparação entre os dois tempos e conclusão matemática.
Do Passo 4 obtivemos
t_{\parallel}=\dfrac{2L}{c\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}},
e do Passo 6 obtivemos
t_{\perp}=\dfrac{2L}{c\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Portanto
t_{\parallel}=t_{\perp}.
Isto significa que o tempo total que a luz leva nos dois braços é o mesmo quando o braço paralelo está contraído pelo fator \sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}. Como a diferença de tempo entre os dois trajetos é o que causaria uma diferença de fase (e, consequentemente, um deslocamento de franjas), a igualdade dos tempos implica ausência de deslocamento — isto é, o resultado negativo do experimento é explicado.

Passo 8

Interpretação física e comentário didático rápido (para você usar na prova e entender o porquê).
  • A ideia central: sem contração, t_{\parallel} e t_{\perp} são diferentes e variarão quando se gira o interferômetro, produzindo deslocamento de franjas; com a contração proposta, a diferença some exatamente.
  • A hipótese de contração foi proposta historicamente (FitzGerald, Lorentz) para salvar o éter diante do resultado nulo; mais tarde a Relatividade Especial de Einstein deu uma fundamentação mais profunda, mostrando que essa contração é uma consequência natural das transformações de Lorentz.
  • Na prática para prova: mostre os tempos como fiz (dividindo ida/volta no paralelo, usando Pitágoras no perpendicular), substitua L_{\parallel}=L\sqrt{1-v^{2}/c^{2}} e mostre a igualdade. Isso basta para “mostrar” que a contração explica o resultado nulo.

Resposta

t_{\parallel}=t_{\perp}=\dfrac{2L}{c\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}},
portanto não há diferença de tempo entre os dois braços e o experimento de Michelson–Morley teria resultado nulo se o braço paralelo estivesse contraído por \sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.

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