Atividade 1.2 Dois tocadores de tuba em uma banda dão a impressão para o seu ouvido treinado de estarem tocando a nota correta, 196 Hz , mas há um gorjeio irritante que você interpreta como sendo quatro batimentos por segundo. Quais são as frequências das notas tocadas pelas duas tubas?

Passo 1

O enunciado pergunta quais são as frequências tocadas pelas duas tubas, sabendo que: (1) o ouvido percebe a nota correta de \,196\\ \text{Hz} e (2) há um gorjeio (batimentos) de \,4 batimentos por segundo. Essas são as informações relevantes dadas.

Passo 2

Vamos entender a relação matemática entre duas notas próximas e os batimentos que elas produzem. Se duas ondas sonoras puras têm frequências \,f_1 e \,f_2, o som total (soma das duas ondas) pode ser escrito usando cossenos; ao aplicar uma identidade trigonométrica obtemos:
\cos(2\pi f_1 t)+\cos(2\pi f_2 t) =2\cos\!\left(2\pi\frac{f_1+f_2}{2}t\right)\cos\!\left(2\pi\frac{f_1-f_2}{2}t\right).
Aqui temos duas coisas importantes:
  • O termo \displaystyle 2\cos\!\left(2\pi\frac{f_1+f_2}{2}t\right) é a portadora — é a oscilação rápida cujo período corresponde à frequência média \displaystyle \frac{f_1+f_2}{2}.
  • O termo \displaystyle \cos\!\left(2\pi\frac{f_1-f_2}{2}t\right) modula a amplitude; o padrão de amplitude (o envelope) produz os batimentos audíveis.

Passo 3

Agora ligamos isso às informações do enunciado. O ouvido costuma perceber a altura (a “nota”) aproximadamente igual à frequência média das duas ondas, ou seja:
\frac{f_1+f_2}{2}=196.
O número de batimentos por segundo que ouvimos é igual à diferença absoluta entre as frequências (veja a observação abaixo sobre por que é a diferença e não metade da diferença):
|f_1-f_2|=4.
Observação didática rápida: na identidade acima o fator de modulação é \cos\!\big(2\pi\frac{f_1-f_2}{2}t\big). Esse cosseno tem período \displaystyle \frac{2}{|f_1-f_2|}, mas como o que ouvimos são picos de amplitude (o valor absoluto do cosseno), esses picos ocorrem com frequência |f_1-f_2|. Por isso o número de batimentos por segundo é |f_1-f_2|.

Passo 4

Transformamos as equações em forma mais simples. Da média:
\frac{f_1+f_2}{2}=196 \quad\Rightarrow\quad f_1+f_2=392.
E da diferença:
|f_1-f_2|=4.
Para resolver, consideramos os dois sinais possíveis para a diferença (isso apenas troca qual tuba tem a frequência maior).

Passo 5

Caso A: f_1-f_2=4\). Somando com \(f_1+f_2=392\) dá: \[\begin{cases} f_1+f_2=392,\\[4pt] f_1-f_2=4. \end{cases}
Somando as duas equações:
2f_1=396 \quad\Rightarrow\quad f_1=198.
Substituindo em (f_1+f_2=392]:
198+f_2=392 \quad\Rightarrow\quad f_2=194.]

Passo 6

Caso B: f_1-f_2=-4 (ou seja, f_2-f_1=4). Isso apenas inverte os rótulos das tubas, dando as mesmas duas frequências, trocadas:
f_1=194,\qquad f_2=198.

Passo 7

Verificação rápida: \displaystyle\frac{198+194}{2}=196 e |198-194|=4, então atende perfeitamente às condições do enunciado. Portanto as duas frequências são \,198\\ \text{Hz} e \,194\\ \text{Hz}.

Resposta

\,194\\ \text{Hz}\n \,198\\ \text{Hz}

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