Atividade 1.2 Dois tocadores de tuba em uma banda dão a impressão para o seu ouvido treinado de estarem tocando a nota correta, 196 Hz , mas há um gorjeio irritante que você interpreta como sendo quatro batimentos por segundo. Quais são as frequências das notas tocadas pelas duas tubas?
Passo 1
O enunciado pergunta quais são as frequências tocadas pelas duas tubas, sabendo que: (1) o ouvido percebe a nota correta de
e (2) há um gorjeio (batimentos) de
batimentos por segundo. Essas são as informações relevantes dadas.
Passo 2
Vamos entender a relação matemática entre duas notas próximas e os batimentos que elas produzem. Se duas ondas sonoras puras têm frequências
e
, o som total (soma das duas ondas) pode ser escrito usando cossenos; ao aplicar uma identidade trigonométrica obtemos:
Aqui temos duas coisas importantes:
- O termo
é a portadora — é a oscilação rápida cujo período corresponde à frequência média . - O termo
modula a amplitude; o padrão de amplitude (o envelope) produz os batimentos audíveis.
Passo 3
Agora ligamos isso às informações do enunciado. O ouvido costuma perceber a altura (a “nota”) aproximadamente igual à frequência média das duas ondas, ou seja:
O número de batimentos por segundo que ouvimos é igual à diferença absoluta entre as frequências (veja a observação abaixo sobre por que é a diferença e não metade da diferença):
Observação didática rápida: na identidade acima o fator de modulação é
. Esse cosseno tem período
, mas como o que ouvimos são picos de amplitude (o valor absoluto do cosseno), esses picos ocorrem com frequência
. Por isso o número de batimentos por segundo é
.
Passo 4
Transformamos as equações em forma mais simples. Da média:
E da diferença:
Para resolver, consideramos os dois sinais possíveis para a diferença (isso apenas troca qual tuba tem a frequência maior).
Passo 5
Caso A:
Somando as duas equações:
Substituindo em (f_1+f_2=392]:
]
Passo 6
Caso B:
(ou seja,
). Isso apenas inverte os rótulos das tubas, dando as mesmas duas frequências, trocadas:
Passo 7
Verificação rápida:
e
, então atende perfeitamente às condições do enunciado. Portanto as duas frequências são
e
.