7.10 Uma espira quadrada condutora de lado
está no plano
e é percorrida por uma corrente
no sentido anti-horário. Demonstre que, no centro da espira
Passo 1
O enunciado diz: uma espira quadrada condutora de lado
está no plano
e é percorrida por uma corrente
no sentido anti-horário. Pede-se demonstrar que, no centro da espira,
Informações relevantes que vamos usar:
A espira é fechada e simétrica em relação à origem (que é o seu centro). O sentido anti-horário é visto a partir do eixo
. Vamos calcular o campo
no ponto
(o centro).
Passo 2
Ferramenta que usaremos (explicada com calma): a lei de Biot–Savart para
. Para uma corrente constante
em um fio fino, o campo de intensidade magnética
em um ponto
é dado por
O que cada símbolo significa:
-
é a corrente no fio. -
é a curva que descreve o fio (a espira quadrada). -
é a posição de um elemento de corrente sobre o fio. -
é o ponto onde queremos o campo (aqui ). -
é o vetor diferencial orientado segundo o sentido da corrente (módulo igual ao comprimento diferencial). - O produto vetorial
dá a direção e sinal da contribuição desse elemento. - O denominador
faz a contribuição decair com a distância (é a forma vetorial do Biot–Savart).
Explicação física curta: cada pequeno trecho de fio gera uma contribuição cujo sentido é dado pela regra da mão direita (produto vetorial) e cujo módulo cai com a distância.
Observação de simetria — por que podemos só calcular um lado: a espira é formada por 4 lados idênticos. Pelo sentido anti-horário visto de cima, as contribuições dos quatro lados no centro têm a mesma direção (perpendicular ao plano da espira) e o mesmo módulo. Portanto basta calcular a contribuição de um lado e multiplicar por
. Vou usar base cartesiana usual
,
,
para fazer contas; no final veremos como isto corresponde ao resultado escrito no enunciado (que usa
como vetor unitário na direção normal ao plano).
Passo 3
Escolha de um lado para calcular (o lado superior). Coordenadas do lado superior: pontos
com
variando entre
e
. Pelo sentido anti-horário visto de
, a corrente no lado superior vai de
para
(ou seja, da direita para a esquerda). Parametrização conveniente: tomar a variável
que cresce de
a
mas incorporar o sentido real da corrente no
. Assim:
O vetor diferencial (orientado segundo a corrente, que é da direita para a esquerda) é
No centro
temos
. Então o produto vetorial do integrando é
Calcule termo a termo:
, e
. Assim
Observe que o resultado é paralelo a
(ou seja, perpendicular ao plano
), positivo no sentido
. O módulo do vetor posição é
Substituindo na fórmula de Biot–Savart (avaliada em
) para esse lado obtemos a contribuição
Agora vamos calcular a integral escalar
Fazemos a substituição trigonométrica
. Então
e
O integrando fica
Os limites:
,
. Assim
Voltando para
,
Passo 4
Pela simetria da espira (os quatro lados são congruentes e as direções dos produtos vetoriais para cada lado no centro saem todas no mesmo sentido), cada lado contribui com o mesmo vetor
. Portanto o campo total no centro é quatro vezes esse valor:
Interpretação: o campo é perpendicular ao plano da espira e apontando para o lado
(isto está de acordo com a regra da mão direita para a corrente no sentido anti-horário).
Passo 5
Conexão com a notação do enunciado: na conta eu usei
. O enunciado apresenta o resultado na forma
apontando para fora do plano; portanto, identificando a direção normal ao plano
com
do enunciado (ou seja, lendo
do enunciado como o vetor unitário normal ao plano), obtemos exatamente
Pequeno incentivo: você já viu a ideia principal — usar Biot–Savart, parametrizar um lado, resolver uma integral padrão com substituição trigonométrica e multiplicar por 4. Dá para aplicar a mesma técnica para outros polígonos regulares; só muda a integral.