*7.11 (a) Uma espira filamentar percorrida por uma corrente I é dobrada até assumir o formato de um polígono regular de
lados. Demonstre que, no centro do polígono,
onde
é o raio do círculo circunscrito pelo polígono.
(b) Aplique essa relação para os casos em que
veja se seus resultados estão de acordo com aqueles encontrados, respectivamente, para a espira triangular do Problema 7.8 e para a espira quadrada do Problema 7.10.
(b) Aplique essa relação para os casos em que
Passo 1
O enunciado dá uma espira filamentar percorrida por uma corrente
, que é dobrada formando um polígono regular de
lados. O polígono está inscrito num círculo de raio
(ou seja,
é o raio da circunferência circunscrita ao polígono).
As perguntas são duas:
As perguntas são duas:
- Mostrar a expressão do campo magnético intensidade
, no centro do polígono (o enunciado apresenta uma expressão com , mas eu vou demonstrar a expressão correta passo a passo). - Aplicar a relação ao caso
e e verificar se os resultados coincidem com os obtidos para a espira triangular (Problema 7.8) e para a espira quadrada (Problema 7.10).
Informações relevantes dadas:
- Corrente na espira:
. - Número de lados do polígono:
. - Raio da circunferência circunscrita:
. - Cada lado é um fio retilíneo finito; o campo no centro é soma (superposição) das contribuições de cada lado.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem cálculo ainda).
Justificativa: o campo magnético de uma distribuição de corrente linear pode ser obtido por superposição das contribuições dos trechos retilíneos que compõem o polígono. A lei que usamos é a Lei de Biot–Savart, que dá o campo diferencial devido a um elemento de corrente. Como cada lado é um fio retilíneo de comprimento finito, é natural calcular a contribuição de um lado usando Biot–Savart e depois somar as contribuições (todas idênticas por simetria). Vou fazer isso passo a passo, explicando cada fórmula e cada variável.
Justificativa: o campo magnético de uma distribuição de corrente linear pode ser obtido por superposição das contribuições dos trechos retilíneos que compõem o polígono. A lei que usamos é a Lei de Biot–Savart, que dá o campo diferencial devido a um elemento de corrente. Como cada lado é um fio retilíneo de comprimento finito, é natural calcular a contribuição de um lado usando Biot–Savart e depois somar as
Breve revisão da fórmula que vamos usar (Biot–Savart para um elemento de corrente):
onde:
-
é a permeabilidade magnética do vácuo, -
é a corrente, -
é o vetor elemento de comprimento direcionado segundo a corrente, -
é o vetor do elemento até o ponto de observação, , -
.
A partir dessa expressão, para um fio retilíneo finito, integrando-se ao longo do fio obtém-se a contribuição total do fio.
Passo 3
Definir geometria e variáveis (figura mental).
Considere um dos lados do polígono, chamemos de segmento . Pelo centro
do polígono, traça-se a perpendicular até o ponto médio
do lado
. Defina:
Considere um dos lados do polígono, chamemos de segmento
-
(metade do ângulo central correspondente a um lado; o ângulo central total entre os extremos do lado é ), - comprimento do lado:
. Pela geometria do polígono regular inscrito em circunferência de raio ,
- distância perpendicular do centro
até o lado (apotema): . Pela geometria do triângulo retângulo ,
- distância do centro
até cada vértice (extremidade do lado): (definição do circun- -raio).
Vou calcular a contribuição magnética de um lado
no centro
e depois multiplicar por
.
Passo 4
Calcular o campo devido a um lado usando Biot–Savart (configuração coordenada).
Coloco o eixo ao longo do lado, com o ponto médio
no
, e o ponto
no eixo
em
(ou seja, a distância perpendicular é
). Um elemento do fio está em
com
variando de
até
. O vetor elemento é
. O vetor do elemento até o ponto
é
, com
. O produto vetorial relevante é:
Coloco o eixo
Portanto o elemento de campo (direção
— saindo ou entrando segundo orientação) tem magnitude
Integramos
de
até
para obter a contribuição do lado inteiro.
Passo 5
Resolver a integral (mostrando a técnica).
Integral a calcular:
Integral a calcular:
Uma primitiva conhecida é
Aplicando os limites,
Substituindo os limites, o termo em
é simétrico, obtemos
Simplificando um fator
,
Passo 6
Usar a relação geométrica
e simplificar.
Pelo triângulo retângulo formado por ,
e
temos
Pelo triângulo retângulo formado por
Logo
Reorganizando,
Passo 7
Substituir
e
com
.
Substituições:
Substituições:
Então
Assim
Portanto a contribuição de um lado ao campo no centro tem magnitude
Passo 8
Somar as contribuições dos
lados (simetria).
Por simetria, cada um dos lados contribui com o mesmo módulo e direção (todos contribuem na mesma direção perpendicular ao plano do polígono). Assim o campo total no centro é
Por simetria, cada um dos
O campo intensidade magnética
, relaciona-se com
por
no vácuo, portanto
Observação importante (sobre o enunciado): o enunciado que você mandou mostra
no lugar de
. Pela dedução acima (integração direta por Biot–Savart) o fator correto é
. Além disso, testar casos particulares (por exemplo
e os casos
) confirma que a expressão com
dá os resultados esperados; a fórmula com
não bate com o cálculo direto para
(ver passo seguinte). Portanto há um provável erro tipográfico no enunciado e a expressão correta é com
.
Passo 9
Aplicar a relação obtida para
(triângulo equilátero).
Use e
. Assim
Use
Se quisermos expressar em termos do lado
do triângulo equilátero, note que para o triângulo inscrito em circunferência de raio
temos
(de fato
), então substituindo obtemos a forma em função de
:
Esse resultado coincide com o cálculo direto que se obtém somando as contribuições dos três lados (verifica-se fazendo a integral para cada lado como fiz acima).
Passo 10
Aplicar a relação obtida para
(quadrado).
Aqui e
. Então
Aqui
Se expressarmos em termos do comprimento do lado
do quadrado, a relação entre
e
é
. Substituindo,
Esse resultado também coincide com o cálculo direto para a espira quadrada (Problema 7.10), enquanto a forma com
do enunciado original não coincide.
Passo 11
Conclusão e checagem com os problemas citados.
- A dedução direta por Biot–Savart mostra que a expressão correta é com
, ou seja
- Para
obtemos , que é o mesmo resultado que se obtém somando as contribuições das três arestas (Problema 7.8). - Para
obtemos , que coincide com o resultado do Problema 7.10 para a espira quadrada.
Portanto os valores parae vindos da expressão com estão de acordo com os resultados obtidos nos problemas anteriores; a versão com no enunciado parece ser um erro tipográfico.
Resposta
(a)
(b) Para :
.
Para :
.
Os resultados para e
coincidem com os obtidos nos Problemas 7.8 e 7.10, respectivamente.
(b) Para
Para
Os resultados para