Considere um capacitor plano com área
e espaçamento entre as placas
e suponha que no espaço entre as placas foi inserido um dielétrico de constante dielétrica
, area
e largura
(o dielétrico não preenche totalmente o espaço entre as placas). Se
é a densidade superficial de carga da placa positiva e
é a densidade superficial de carga de polarização do dielétrico, mostre que a magnitude do campo elétrico dentro do dielétrico é
, e fora dele é
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem um capacitor de placas paralelas, área
, separação total entre placas
. Entre essas placas entrou um pedaço de dielétrico de constante
, mesma área
e espessura
(ou seja, não preenche todo o vão). A placa positiva carrega densidade de carga livre
e o dielétrico acumula uma densidade de carga de polarização
nas suas superfícies.
Conteúdo envolvido: eletrostática com dielétricos, lei de Gauss para o deslocamento elétrico
, vetor polarização
e carga ligada (polarização). A gente vai precisar:
- Relação
(Gauss para ). - Definição
e . - Relação entre
, e constante dielétrica .
Passo 2
Primeiro, relembrando a teoria de dielétricos:
- O vetor deslocamento elétrico é
2) A lei de Gauss paradiz que, em uma superfície fechada,
- A polarização
cria cargas ligadas nas superfícies do dielétrico, cuja densidade superficial é
No nosso caso, as únicas cargas livres estão nas placas (densidade
) e as ligadas só aparecem nas faces do dielétrico (densidade
).
Passo 3
Vamos aplicar Gauss para
usando um “cilindro” que atravessa tanto o dielétrico quanto o vazio:
- No interior do dielétrico e também no vazio, a única carga livre que esse cilindro encerra é a da placa (densidade
). - Logo,
Esse resultado vale tanto dentro quanto fora do dielétrico, poisé contínuo (não há carga livre na interface do dielétrico).
Passo 4
Dentro do dielétrico, a gente sabe que ele responde ao campo com
, ou seja,
Por outro lado, a densidade de carga de polarização na face do dielétrico vale
$$\sigma_{p}=\mathbf{P}\cdot\hat n = (\mathbf{D}-\epsilon_{0}\mathbf{E})\cdot\hat n
= D - \epsilon_{0}E
= \sigma - \epsilon_{0},\frac{\sigma}{\kappa,\epsilon_{0}}
= \sigma - \epsilon_{0},\frac{\sigma}{\kappa,\epsilon_{0}}
= \sigma\Bigl(1-\frac1\kappa\Bigr),.
\frac{\sigma-\sigma_{p}}{\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma - \sigma\bigl(1-\tfrac1\kappa\bigr)}{\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma/\kappa}{\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma}{\kappa,\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma/\kappa}{\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma}{\kappa,\epsilon_{0}}
=E,. $$
Passo 5
Fora do dielétrico não existe polarização, ou seja,
e
. Mas como já vimos
, então
Resposta
Dentro do dielétrico:
e fora do dielétrico: