Considere um capacitor plano com área A e espaçamento entre as placas D e suponha que no espaço entre as placas foi inserido um dielétrico de constante dielétrica kappa, area A e largura d (o dielétrico não preenche totalmente o espaço entre as placas). Se sigma é a densidade superficial de carga da placa positiva e sigmap é a densidade superficial de carga de polarização do dielétrico, mostre que a magnitude do campo elétrico dentro do dielétrico é E=(sigma-sigmap) / epsilon0, e fora dele é E0=sigma / epsilon0.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem um capacitor de placas paralelas, área A, separação total entre placas D. Entre essas placas entrou um pedaço de dielétrico de constante kappa, mesma área A e espessura d (ou seja, não preenche todo o vão). A placa positiva carrega densidade de carga livre sigma e o dielétrico acumula uma densidade de carga de polarização sigmap nas suas superfícies.
Conteúdo envolvido: eletrostática com dielétricos, lei de Gauss para o deslocamento elétrico D, vetor polarização P e carga ligada (polarização). A gente vai precisar:
  • Relação nablacdot D=rhorm livre (Gauss para D).
  • Definição D=epsilon0E+P e sigmap=Pcdotn.
  • Relação entre D, E e constante dielétrica kappa.

Passo 2

Primeiro, relembrando a teoria de dielétricos:
  1. O vetor deslocamento elétrico é D=epsilon0E+P;
    2) A lei de Gauss para D diz que, em uma superfície fechada,
    oint Dcdot da = Qrm livre;enc
  2. A polarização P cria cargas ligadas nas superfícies do dielétrico, cuja densidade superficial é
sigmap=Pcdotn,
No nosso caso, as únicas cargas livres estão nas placas (densidade sigma) e as ligadas só aparecem nas faces do dielétrico (densidade sigmap).

Passo 3

Vamos aplicar Gauss para D usando um “cilindro” que atravessa tanto o dielétrico quanto o vazio:
  • No interior do dielétrico e também no vazio, a única carga livre que esse cilindro encerra é a da placa (densidade sigma).
  • Logo, Dcdot A = sigma,A Longrightarrow D=sigma,
    Esse resultado vale tanto dentro quanto fora do dielétrico, pois D é contínuo (não há carga livre na interface do dielétrico).

Passo 4

Dentro do dielétrico, a gente sabe que ele responde ao campo com epsilon=kappa,epsilon0, ou seja,
D=epsilon,E=kappa,epsilon0,ELongrightarrow E=Dkappa,epsilon0=sigmakappa,epsilon0,
Por outro lado, a densidade de carga de polarização na face do dielétrico vale
$$\sigma_{p}=\mathbf{P}\cdot\hat n = (\mathbf{D}-\epsilon_{0}\mathbf{E})\cdot\hat n
= D - \epsilon_{0}E
= \sigma - \epsilon_{0},\frac{\sigma}{\kappa,\epsilon_{0}}
= \sigma\Bigl(1-\frac1\kappa\Bigr),. sigmap=Pcdothat n = (D-epsilon0E)cdothat n = D - epsilon0E = sigma - epsilon0,sigmakappa,epsilon0 = sigmal(1-1kappar), íá\frac{\sigma-\sigma_{p}}{\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma - \sigma\bigl(1-\tfrac1\kappa\bigr)}{\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma/\kappa}{\epsilon_{0}}
=\frac{\sigma}{\kappa,\epsilon_{0}}
=E,. $$

Passo 5

Fora do dielétrico não existe polarização, ou seja, P=0 e D=epsilon0E0. Mas como já vimos D=sigma, então
E0=Depsilon0=sigmaepsilon0,

Resposta

Dentro do dielétrico:
E=sigma-sigmapepsilon0,,
e fora do dielétrico:
E0=sigmaepsilon0,

Exercícios relacionados