Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de 1,0 times 10^10 m. Ambas têm massa igual a 1,0 times 10^30 kg e um raio de 1,0 times 10^5 m. Elas se encontram inicialmente em repouso relativo. Com que velocidades estarão se movendo, em relação a este referencial em repouso, (a) quando a distância entre elas for a metade da distância inicial e (b) quando estiverem na iminência de colidir?
Resposta:
(a) 82 km / s
(b) 1,8 times 10^4 km / s

Passo 1

O enunciado descreve duas estrelas de nêutrons, cada uma com massa M=1,0times10^30,kg e raio R=1,0times10^5,m, inicialmente em repouso e separadas por ri=1,0times10^10,m. Queremos as velocidades de cada estrela no referencial do centro de massa quando:
(a) a separação vale metade da inicial, isto é r=ri/2;
(b) elas estão prestes a colidir, ou seja r=2R.
O método é usar a conservação da energia mecânica no sistema de duas massas iguais.

Passo 2

Como não há forças dissipativas, a energia mecânica total se conserva: energia cinética inicial Ki=0 e energia potencial inicial
Ui = -G,M^2ri
Num ponto em que as estrelas estão a distância r, a energia potencial é
U(r) = -G,M^2r,
e cada estrela tem velocidade v, de modo que a energia cinética total é
K = 2cdot12 M,v^2 = M,v^2
Conservação de energia dá
K + U(r) ;=; Ui Longrightarrow M,v^2 - G,M^2r = -G,M^2ri,
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v^2 = G,Ml(1r - 1rir) Longrightarrow v = raizG,Ml(1r - 1rir)

Passo 3

(a) Para r = ri/2 temos
1r - 1ri = 1ri/2 - 1ri = 2ri - 1ri = 1ri,
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va = raizG,Mri = raiz6,67times10^-11times1,0times10^301,0times10^10 = raiz6,67times10^9 approx 8,17times10^4,m/s
Convertendo para km/s:
va approx 82,km/s

Passo 4

(b) Para r = 2R = 2,0times10^5,m temos
1r - 1ri = 12,0times10^5 - 11,0times10^10 approx 5,00times10^-6 - 1,00times10^-10 approx 4,9999times10^-6,m^-1
Então
vb = raiz6,67times10^-11times1,0times10^30times4,9999times10^-6 approx raiz3,335times10^14 approx 1,83times10^7,m/s,
que em km/s é
vb approx 1,8times10^4,km/s

Resposta

(a) 82 km/s
(b) 1,8times10^4 km/s

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