Duas forças atuam em uma viga horizontal de 4 m de comprimento. Uma força \vec{F}_{1}=20 \mathrm{~N} atua para baixo na extremidade esquerda da viga. Outra força \vec{F}_{2}=30 \mathrm{~N} atua para cima a 1 m da extremidade direita (medido a partir da extremidade direita). Calcule o momento resultante em relação ao centro da viga. (Sugestão de desenho: uma viga horizontal, com F1 na extremidade esquerda para baixo, e F2 a 1 m da extremidade direita para cima).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o momento resultante em relação ao centro da viga.\n
Informações dadas (retirei diretamente do enunciado):\n
  • Comprimento da viga: L=4\\ \mathrm{m}.\n
  • Uma força \vec{F}_{1}=20\\ \mathrm{N} atua para baixo na extremidade esquerda da viga (ou seja, na posição da extremidade esquerda).\n
  • Outra força \vec{F}_{2}=30\\ \mathrm{N} atua para cima a 1\\ \mathrm{m} da extremidade direita (isso foi informado no enunciado: “medido a partir da extremidade direita”).\n
    Pergunta clara: qual é o momento resultante (magnitude e sentido) produzido por essas duas forças em relação ao centro da viga?

Passo 2

Escolher um referencial de posições ao longo da viga para medir distâncias até o centro.\n
  • Vou medir distâncias a partir da extremidade esquerda (posição x=0). Assim a extremidade esquerda fica em x_1=0 e a extremidade direita em x=4\\ \mathrm{m} (porque L=4).\n
  • A força \vec{F}_{1} está na extremidade esquerda, então sua posição é x_{F1}=0.\n
  • A força \vec{F}_{2} está a 1\\ \mathrm{m} da extremidade direita; como a extremidade direita está em x=4, então a posição da segunda força é
x_{F2}=4-1=3\\ \mathrm{m}.
  • O centro da viga (ponto em relação ao qual pedem o momento) está em
x_{\text{centro}}=\frac{L}{2}=\frac{4}{2}=2\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Definir o que é momento (torque) e a fórmula que vamos usar.\n
  • Momento (ou torque) de uma força em relação a um ponto é dado por produto da intensidade da força pela distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto (braço de alavanca).\n
  • Fórmula escalar (quando as forças são perpendiculares à viga e a distância é horizontal): M = F \cdot d,
onde \;F\; é a intensidade da força (em \mathrm{N}) e \;d\; é o braço de alavanca (em \mathrm{m}). O resultado tem unidade \mathrm{N\cdot m}.\n
  • Precisamos também escolher um sinal para indicar sentido do momento. Vou adotar a convenção usual: momento positivo ( +) quando causa rotação no sentido anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio), e momento negativo ( -) quando causa rotação no sentido horário.

Passo 4

Calcular os braços de alavanca (distâncias perpendiculares) de cada força até o centro.\n
  • Distância da força \vec{F}_{1} (em x_{F1}=0) até o centro ( x_{\text{centro}}=2): r_1 = |x_{\text{centro}}-x_{F1}| = |2-0| = 2\\ \mathrm{m}.
  • Distância da força \vec{F}_{2} (em x_{F2}=3) até o centro ( x_{\text{centro}}=2): r_2 = |x_{F2}-x_{\text{centro}}| = |3-2| = 1\\ \mathrm{m}.
Observação pedagógica: o valor absoluto garante que o braço de alavanca é sempre positivo; o sentido (sinal) do momento vem da direção da força e de qual lado do ponto ela atua.

Passo 5

Determinar o sentido de rotação que cada força produz em relação ao centro (para aplicar o sinal no momento).\n
  • A força \vec{F}_{1}=20\\ \mathrm{N} atua para baixo na extremidade esquerda (esquerda do centro). Empurrar para baixo à esquerda tende a girar a viga no sentido horário em torno do centro (lado esquerdo desce, lado direito sobe). Pela convenção escolhida, sentido horário é negativo. Então o momento produzido por \vec{F}_{1} será negativo.\n
  • A força \vec{F}_{2}=30\\ \mathrm{N} atua para cima no ponto à direita do centro ( x=3). Puxar para cima à direita tende a girar a viga no sentido anti-horário (lado direito sobe, lado esquerdo desce). Pela convenção, anti-horário é positivo. Então o momento produzido por \vec{F}_{2} será positivo.

Passo 6

Calcular os momentos produzidos por cada força (com sinal) e somá-los para obter o momento resultante.\n
Momentos individuais:\n
  • Momento de \vec{F}_{1}: M_1 = -F_1 \cdot r_1 = -(20)\cdot(2) = -40\\ \mathrm{N\cdot m}.
(negativo porque gera rotação horária)\n
  • Momento de \vec{F}_{2}: M_2 = +F_2 \cdot r_2 = +(30)\cdot(1) = +30\\ \mathrm{N\cdot m}.
(positivo porque gera rotação anti-horária)\n
Momento resultante (soma algébrica): M_{\text{res}} = M_1 + M_2 = -40 + 30 = -10\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Interpretar o resultado numericamente e em termos de sentido.\n
  • O resultado \;M_{\text{res}}=-10\\ \mathrm{N\cdot m}\; significa que o momento resultante tem magnitude 10\\ \mathrm{N\cdot m} e sentido horário (porque o valor é negativo na convenção adotada).\n
  • Intuição rápida: a força de 20\\ \mathrm{N} aplicada a 2\\ \mathrm{m} do centro tende a girar mais (momento 40) do que os 30\\ \mathrm{N} aplicados a 1\\ \mathrm{m} (momento 30), então sobra um momento horário de 10\\ \mathrm{N\cdot m}. Força maior mais perto não compensa força menor mais longe neste caso.

Resposta

M_{\text{res}}=-10\\ \mathrm{N\cdot m} (sentido horário)

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