Uma força de 100 N atua ao longo da linha que vai de A(1,2,0) \mathrm{m} para B(4,6,0) \mathrm{m}. Determine o momento dessa força em relação à origem (0,0,0).
Passo 1
O enunciado pede o momento (torque) da força de 100\\ \mathrm{N} em relação à origem (0,0,0). Informações dadas:
Ponto A tem coordenadas (1,2,0) m.
Ponto B tem coordenadas (4,6,0) m.
A força tem intensidade 100\\ \mathrm{N} e atua ao longo da linha que vai de A para B.
A tarefa é encontrar o vetor momento \mathbf{M} da força em relação à origem.
Passo 2
Escolhemos um ponto qualquer sobre a linha de ação para obter o vetor posição relativo à origem. Vou usar o ponto A. O vetor posição de A em relação à origem é
\mathbf{r}_A = (1,2,0)\\ \text{m}.
Explicação rápida: \mathbf{r}_A é o vetor que vai da origem até o ponto onde aplicamos a força (ou qualquer outro ponto da reta de ação).
Passo 3
Agora obtemos o vetor direção da linha de ação calculando \overrightarrow{AB} = B - A:
Interpretação: a força tem componentes F_x=60\\ \mathrm{N}, F_y=80\\ \mathrm{N}, F_z=0.
Passo 6
A fórmula para o momento (torque) de uma força em relação à origem é o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força:
\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Aqui usamos \mathbf{r}=\mathbf{r}_A porque qualquer ponto sobre a linha de ação dá o mesmo momento em relação à origem. Explico o porquê: deslocar \mathbf{r} ao longo da reta de ação não altera \mathbf{r}\times\mathbf{F} quando o deslocamento é paralelo a \mathbf{F}.
Passo 7
Calculamos o produto vetorial usando o determinante (regra de Sarrus/menor para 3D):
Interpretação física e verificação rápida: a componente em z é negativa, indicando que o sentido do momento é no sentido negativo do eixo z (use a regra da mão direita para ver o sentido). Podemos checar usando o ponto B: \mathbf{r}_B=(4,6,0) e \mathbf{r}_B\times\mathbf{F} dá o mesmo valor -40 na componente z, confirmando que o momento é independente do ponto escolhido sobre a reta de ação.