Uma força de 100 N atua ao longo da linha que vai de A(1,2,0) \mathrm{m} para B(4,6,0) \mathrm{m}. Determine o momento dessa força em relação à origem (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede o momento (torque) da força de 100\\ \mathrm{N} em relação à origem (0,0,0). Informações dadas:
  • Ponto A tem coordenadas (1,2,0) m.
  • Ponto B tem coordenadas (4,6,0) m.
  • A força tem intensidade 100\\ \mathrm{N} e atua ao longo da linha que vai de A para B.
    A tarefa é encontrar o vetor momento \mathbf{M} da força em relação à origem.

Passo 2

Escolhemos um ponto qualquer sobre a linha de ação para obter o vetor posição relativo à origem. Vou usar o ponto A. O vetor posição de A em relação à origem é
\mathbf{r}_A = (1,2,0)\\ \text{m}.
Explicação rápida: \mathbf{r}_A é o vetor que vai da origem até o ponto onde aplicamos a força (ou qualquer outro ponto da reta de ação).

Passo 3

Agora obtemos o vetor direção da linha de ação calculando \overrightarrow{AB} = B - A:
\overrightarrow{AB} = (4-1,\;6-2,\;0-0) = (3,4,0).
Isso nos dá a direção da linha onde a força atua.

Passo 4

Precisamos do versor (vetor unitário) na direção de \overrightarrow{AB}. Primeiro calculamos o módulo de \overrightarrow{AB}:
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
O vetor unitário é
\mathbf{\hat{u}} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|} = \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right).
Comentário didático: o vetor unitário tem comprimento 1 e indica apenas a direção; multiplicando-o pela intensidade da força obtemos o vetor força.

Passo 5

Construímos o vetor força \mathbf{F} multiplicando a intensidade 100\\ \mathrm{N} pelo vetor unitário:
\mathbf{F} = 100\cdot\mathbf{\hat{u}} = 100\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right) = (60,80,0)\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força tem componentes F_x=60\\ \mathrm{N}, F_y=80\\ \mathrm{N}, F_z=0.

Passo 6

A fórmula para o momento (torque) de uma força em relação à origem é o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força:
\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Aqui usamos \mathbf{r}=\mathbf{r}_A porque qualquer ponto sobre a linha de ação dá o mesmo momento em relação à origem. Explico o porquê: deslocar \mathbf{r} ao longo da reta de ação não altera \mathbf{r}\times\mathbf{F} quando o deslocamento é paralelo a \mathbf{F}.

Passo 7

Calculamos o produto vetorial usando o determinante (regra de Sarrus/menor para 3D):
\mathbf{M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 60 & 80 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{M} = \mathbf{i}(2\cdot 0 - 0\cdot 80) - \mathbf{j}(1\cdot 0 - 0\cdot 60) + \mathbf{k}(1\cdot 80 - 2\cdot 60).
Calculando cada termo:
\mathbf{M} = \mathbf{i}\cdot 0 - \mathbf{j}\cdot 0 + \mathbf{k}(80 - 120) = \mathbf{k}(-40).
Logo
\mathbf{M} = (0,0,-40)\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 8

Interpretação física e verificação rápida: a componente em z é negativa, indicando que o sentido do momento é no sentido negativo do eixo z (use a regra da mão direita para ver o sentido). Podemos checar usando o ponto B: \mathbf{r}_B=(4,6,0) e \mathbf{r}_B\times\mathbf{F} dá o mesmo valor -40 na componente z, confirmando que o momento é independente do ponto escolhido sobre a reta de ação.

Resposta

\mathbf{M}=(0,0,-40)\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados