Uma esfera homogênea de massa
e raio
está em equilíbrio sobre dois planos inclinados sem atrito. O primeiro plano faz um ângulo
com a horizontal e o segundo plano faz um ângulo
com a horizontal. Determine a magnitude das forças normais que cada plano exerce sobre a esfera em função de
e
. (Sugestão de desenho: uma esfera entre dois planos inclinados, com ângulos
e
, mostrando os pontos de contato e as forças normais perpendiculares aos planos).
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as magnitudes das forças normais que cada plano exerce sobre a esfera em equilíbrio, em função de
,
,
e
.\n
Informações e incógnitas importantes que o enunciado dá:
Informações e incógnitas importantes que o enunciado dá:
- A esfera é homogênea, tem massa
e raio . - Há dois planos inclinados, sem atrito, formando ângulos
e com a horizontal. - A esfera está em equilíbrio apoiada entre os dois planos (contato em dois pontos).
- Como não há atrito, em cada contato só atua a força normal do plano sobre a esfera. Vou chamar as magnitudes dessas forças de
(plano com ângulo ) e (plano com ângulo ). - A força peso é
dirigida verticalmente para baixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a direção das forças normais: para uma esfera em contato com um plano, a reta que liga o centro da esfera ao ponto de contato é perpendicular ao plano. Portanto, cada força normal atua ao longo dessa reta, isto é, a linha de ação de cada normal passa pelo centro da esfera. Isso é importante porque significa que as normais não criam torque sobre a esfera em relação ao seu centro — elas passam pelo centro — então a condição de equilíbrio de torques não traz equações novas; basta usar o equilíbrio de forças (transladação).
Passo 3
Faço um diagrama de forças (mental ou no papel): o peso
aponta para baixo; a normal
do plano de ângulo
aponta do ponto de contato para o centro e forma um ângulo
com a vertical (deslocando-se para a direita se o plano está à esquerda); a normal
do plano de ângulo
forma um ângulo
com a vertical (deslocando-se para a esquerda se o plano está à direita).\n
Escolho um sistema de eixos: horizontal para a direita e
vertical para cima. Assim, escrevo as componentes horizontais e verticais das normais.
Escolho um sistema de eixos:
Passo 4
Escrevo as componentes das forças normais nos eixos escolhidos:\n
- Para
(plano com ângulo ): a componente vertical para cima é e a componente horizontal para a direita é .\n - Para
(plano com ângulo ): a componente vertical para cima é e a componente horizontal para a esquerda é , ou seja, horizontalmente vale no sentido .\n
O peso tem componente vertical(para baixo) e componente horizontal nula.
Passo 5
Agora uso as equações de equilíbrio de forças (a soma vetorial das forças é zero):
Escrevendo as componentes horizontais:
Escrevendo as componentes verticais:
Passo 6
Da equação horizontal isolo uma normal em função da outra:
Substituo esse
na equação vertical:
Fatorando
:
Passo 7
Simplifico a expressão usando identidades trigonométricas. Coloco sobre um denominador comum
:
O numerador é a identidade de seno da soma:
Portanto a expressão é
. Assim
Passo 8
Volto à relação que obtive entre
e
:
Substituindo o valor de
:
Passo 9
Interpretação final e checagem rápida: ambas as normais são positivas (desde que
e
), e as fórmulas são simétricas trocando
por
e
por
, como a intuição sugere. As unidades conferem:
tem unidades de força e os fatores trigonométricos são adimensionais.