Uma esfera homogênea de massa M e raio R está em equilíbrio sobre dois planos inclinados sem atrito. O primeiro plano faz um ângulo \alpha com a horizontal e o segundo plano faz um ângulo \beta com a horizontal. Determine a magnitude das forças normais que cada plano exerce sobre a esfera em função de M, g, \alpha e \beta. (Sugestão de desenho: uma esfera entre dois planos inclinados, com ângulos \alpha e \beta, mostrando os pontos de contato e as forças normais perpendiculares aos planos).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as magnitudes das forças normais que cada plano exerce sobre a esfera em equilíbrio, em função de M, g, \alpha e \beta.\n
Informações e incógnitas importantes que o enunciado dá:
  • A esfera é homogênea, tem massa M e raio R.
  • Há dois planos inclinados, sem atrito, formando ângulos \alpha e \beta com a horizontal.
  • A esfera está em equilíbrio apoiada entre os dois planos (contato em dois pontos).
  • Como não há atrito, em cada contato só atua a força normal do plano sobre a esfera. Vou chamar as magnitudes dessas forças de N_1 (plano com ângulo \alpha) e N_2 (plano com ângulo \beta).
  • A força peso é \;M g dirigida verticalmente para baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a direção das forças normais: para uma esfera em contato com um plano, a reta que liga o centro da esfera ao ponto de contato é perpendicular ao plano. Portanto, cada força normal atua ao longo dessa reta, isto é, a linha de ação de cada normal passa pelo centro da esfera. Isso é importante porque significa que as normais não criam torque sobre a esfera em relação ao seu centro — elas passam pelo centro — então a condição de equilíbrio de torques não traz equações novas; basta usar o equilíbrio de forças (transladação).

Passo 3

Faço um diagrama de forças (mental ou no papel): o peso \;M g aponta para baixo; a normal N_1 do plano de ângulo \alpha aponta do ponto de contato para o centro e forma um ângulo \alpha com a vertical (deslocando-se para a direita se o plano está à esquerda); a normal N_2 do plano de ângulo \beta forma um ângulo \beta com a vertical (deslocando-se para a esquerda se o plano está à direita).\n
Escolho um sistema de eixos: \hat{\imath} horizontal para a direita e \hat{\jmath} vertical para cima. Assim, escrevo as componentes horizontais e verticais das normais.

Passo 4

Escrevo as componentes das forças normais nos eixos escolhidos:\n
  • Para N_1 (plano com ângulo \alpha): a componente vertical para cima é N_1\cos\alpha e a componente horizontal para a direita é N_1\sin\alpha.\n
  • Para N_2 (plano com ângulo \beta): a componente vertical para cima é N_2\cos\beta e a componente horizontal para a esquerda é N_2\sin\beta, ou seja, horizontalmente vale -N_2\sin\beta no sentido \hat{\imath}.\n
    O peso tem componente vertical -M g (para baixo) e componente horizontal nula.

Passo 5

Agora uso as equações de equilíbrio de forças (a soma vetorial das forças é zero):
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0.
Escrevendo as componentes horizontais:
N_1\sin\alpha - N_2\sin\beta = 0.
Escrevendo as componentes verticais:
N_1\cos\alpha + N_2\cos\beta - M g = 0.

Passo 6

Da equação horizontal isolo uma normal em função da outra:
N_1\sin\alpha = N_2\sin\beta \quad\Rightarrow\quad N_1 = N_2\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.
Substituo esse N_1 na equação vertical:
\left(N_2\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\right)\cos\alpha + N_2\cos\beta = M g.
Fatorando N_2:
N_2\!\left(\frac{\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha} + \cos\beta\right) = M g.

Passo 7

Simplifico a expressão usando identidades trigonométricas. Coloco sobre um denominador comum \sin\alpha:
\frac{\sin\beta\cos\alpha + \cos\beta\sin\alpha}{\sin\alpha}.
O numerador é a identidade de seno da soma:
\sin\beta\cos\alpha + \cos\beta\sin\alpha = \sin(\alpha+\beta).
Portanto a expressão é \dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}. Assim
N_2\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha} = M g \quad\Rightarrow\quad N_2 = M g\,\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.

Passo 8

Volto à relação que obtive entre N_1 e N_2:
N_1 = N_2\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.
Substituindo o valor de N_2:
N_1 = \left(M g\,\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\right)\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} = M g\,\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.

Passo 9

Interpretação final e checagem rápida: ambas as normais são positivas (desde que 0<\alpha,\beta<\pi e \alpha+\beta\neq 0,\pi), e as fórmulas são simétricas trocando \alpha por \beta e N_1 por N_2, como a intuição sugere. As unidades conferem: M g tem unidades de força e os fatores trigonométricos são adimensionais.

Resposta

N_1 = M g\,\dfrac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\n
N_2 = M g\,\dfrac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}

Exercícios relacionados