Duas forças, F1=2 imath+3 jmath+2 k e F2=3 imath+2 jmath+2 k, ambas em newtons, são aplicadas no ponto de um corpo rígido r=6 imath+3 jmath+5 k, em metros.
a. Calcule a força resultante.
b. Calcule o torque.
c. Mostre que a soma dos torques das forças é igual ao torque da força resultante.

Passo 1

O enunciado dá duas forças
F1=2hatimath+3hatjmath+2hat k
F2=3hatimath+2hatjmath+2hat k
aplicadas no ponto de posição
r=6hatimath+3hatjmath+5hat k.
Pede-se (a) a força resultante, (b) o torque de cada força e (c) mostrar que a soma dos torques individuais é igual ao torque da resultante.

Passo 2

A força resultante FR é a soma componente a componente de F1 e F2, isto é
FR=F1+F2 =(2+3)hatimath+(3+2)hatjmath+(2+2)hat k =5hatimath+5hatjmath+4hat k

Passo 3

O torque de cada força é dado por tau=rtimesF. Assim,
tau1 =rtimesF1 = hatimath & hatjmath & hat k 6 & 3 & 5 2 & 3 & 2 =l(3cdot2-5cdot3r)hatimath -l(6cdot2-5cdot2r)hatjmath +l(6cdot3-3cdot2r)hat k =-9hatimath-2hatjmath+12hat k,
tau2 =rtimesF2 = hatimath & hatjmath & hat k 6 & 3 & 5 3 & 2 & 2 =l(3cdot2-5cdot2r)hatimath -l(6cdot2-5cdot3r)hatjmath +l(6cdot2-3cdot3r)hat k =-4hatimath+3hatjmath+3hat k
Logo, a soma dos torques individuais é
tau1+tau2 =(-9-4)hatimath+(-2+3)hatjmath+(12+3)hat k =-13hatimath+1hatjmath+15hat k

Passo 4

Agora calculamos o torque da força resultante:
tauR =rtimesFR = hatimath & hatjmath & hat k 6 & 3 & 5 5 & 5 & 4 =l(3cdot4-5cdot5r)hatimath -l(6cdot4-5cdot5r)hatjmath +l(6cdot5-3cdot5r)hat k =-13hatimath+1hatjmath+15hat k

Passo 5

Comparemos os resultados:
tau1+tau2=-13hatimath+1hatjmath+15hat k
tauR=-13hatimath+1hatjmath+15hat k
Portanto, a soma dos torques individuais é igual ao torque da força resultante.

Resposta

(a) FR=5hatimath+5hatjmath+4hat k.
(b)
tau1=-9hatimath-2hatjmath+12hat k,
tau2=-4hatimath+3hatjmath+3hat k,
tau1+tau2=-13hatimath+1hatjmath+15hat k.
(c) tauR=rtimesFR=-13hatimath+1hatjmath+15hat k, mostrando que
tau1+tau2=tauR.

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