Duas funções f e g têm derivadas de primeira e segunda ordem em 0 e satisfazem as relações
f(0)=\frac{2}{g(0)}, \quad f^{\prime}(0)=2 g^{\prime}(0)=4 g(0), \quad g^{\prime \prime}=5 f^{\prime \prime}(0)=6 f(0)=3
Considere h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, e calcule h^{(0)};

Passo 1

O enunciado pede para calcular h^{(0)} onde h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}. Vou listar todas as informações que o problema dá (todas avaliadas em 0, salvo indicação em contrário):
  • f(0)=\dfrac{2}{g(0)}.
  • f^{\prime}(0)=2\,g^{\prime}(0)=4\,g(0).
  • g^{\prime\prime}(0)=5\,f^{\prime\prime}(0)=6\,f(0)=3.
O que é pedido explicitamente:
  • Calcular h^{(0)}. (Lembrete: o “0-ésimo” derivado de uma função é a própria função, ou seja h^{(0)}=h(0).)

Passo 2

Primeiro vou extrair valores numéricos das igualdades encadeadas. Da cadeia 6\,f(0)=3 temos uma equação simples para f(0):
6\,f(0)=3 \quad\Rightarrow\quad f(0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora uso f(0)=\dfrac{2}{g(0)} para encontrar g(0). Substituindo f(0)=\dfrac{1}{2} na igualdade:
\frac{1}{2}=\frac{2}{g(0)} \quad\Rightarrow\quad g(0)=2\cdot 2=4.

Passo 4

A cadeia f^{\prime}(0)=2\,g^{\prime}(0)=4\,g(0) dá-nos f^{\prime}(0) e g^{\prime}(0). Primeiro calcule f^{\prime}(0) usando 4\,g(0):
f^{\prime}(0)=4\,g(0)=4\cdot 4=16.
Como f^{\prime}(0)=2\,g^{\prime}(0), obtemos g^{\prime}(0) isolando:
2\,g^{\prime}(0)=16 \quad\Rightarrow\quad g^{\prime}(0)=8.

Passo 5

Da cadeia g^{\prime\prime}(0)=5\,f^{\prime\prime}(0)=3 podemos obter f^{\prime\prime}(0) e g^{\prime\prime}(0). Primeiro, de 5\,f^{\prime\prime}(0)=3:
f^{\prime\prime}(0)=\frac{3}{5}.
E como g^{\prime\prime}(0)=3 pela mesma cadeia, confirmamos:
g^{\prime\prime}(0)=3.

Passo 6

Recapitulando os valores que vamos precisar:
f(0)=\frac{1}{2},\qquad g(0)=4,\qquad f^{\prime}(0)=16,\qquad g^{\prime}(0)=8,
f^{\prime\prime}(0)=\frac{3}{5},\qquad g^{\prime\prime}(0)=3.

Passo 7

Lembrando que h^{(0)}=h(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}, calculo diretamente usando os valores encontrados:
h(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{\tfrac{1}{2}}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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