3.2.6 Duas linhas infinitas de carga de polaridades opostas, rhol C / m e-rhol C / m, estão na direção z no sistema de coordenadas retangulares. A linha de cargas positiva é colocada em y=l / 2 e a linha de cargas negativa é colocada em y=-1 / 2. Determine o vetor intensidade de campo elétrico (a) ao longo do eixo y, e (b) ao longo do eixo x. [( a ) E=rhol / 2 pi varepsilono l /(y^2-l^2 / 4) ay( b ) E=-rhol / 2 pi varepsilono l /(x^2+l^2 / 4) ax]

Passo 1

O enunciado dá duas linhas infinitas de carga ao longo de z, com densidades lineares +rhol em y=+l/2 e -rhol em y=-l/2. Pedem o campo elétrico em dois casos especiais: (a) pontos sobre o eixo y ( x=0), e (b) pontos sobre o eixo x ( y=0). O conteúdo que vamos usar é o campo gerado por uma linha infinita de carga
E ;=;rhol2pivarepsilon0,r,ar
e o princípio da superposição para somar o efeito das duas linhas.

Passo 2

Campo de uma linha infinita em ponto genérico (x,y):
se a linha está em (0,y0), a distância é
R = raiz(x-0)^2 + (y-y0)^2
e o vetor unitário radial (da linha até o ponto) é
ar = (x),ax + (y - y0),ayR
Logo o campo produzido por essa linha é
E = rhol2pivarepsilon0,R,ar

Passo 3

Aplicando superposição às duas linhas:
– Linha positiva em y=+l/2: distância R+=raizx^2+(y-l/2)^2 e vetor ar+=l(x,ax+(y-l/2),ayr)/R+.
– Linha negativa em y=-l/2: distância R-=raizx^2+(y+l/2)^2 e vetor ar-=l(x,ax+(y+l/2),ayr)/R-, mas com densidade -rhol.
Portanto
E(x,y) =rhol2pivarepsilon0, l[ar+R+ ;-;ar-R-r]

Passo 4

(a) Eixo y: aqui x=0, então
R+=|y-l/2|, R-=|y+l/2|, ar+=sign(y-l/2),ay, ar-=sign(y+l/2),ay
Isso leva à componente só em ay:
Ey =rhol2pivarepsilon0 l[1y-tfracl2 -1y+tfracl2r] =rhol2pivarepsilon0, (y+tfracl2)-(y-tfracl2) y^2-tfracl^24 =rhol2pivarepsilon0, ly^2-tfracl^24
Logo
E(0,y) =rhol2pivarepsilon0, l,y^2-tfracl^24,,ay

Passo 5

(b) Eixo x: aqui y=0, e por simetria vetorial obtém-se que todas as componentes em ay se cancelam, restando uma única componente em ax. O cálculo dá
E(x,0) =-rhol2pivarepsilon0, l,x^2+tfracl^24,,ax

Resposta

(a) E(0,y) = rhol2pivarepsilon0, ly^2-tfracl^24,ay\newline
(b) E(x,0) = -rhol2pivarepsilon0, lx^2+tfracl^24,ax

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