3.2.7 Uma carga está uniformemente distribuída sobre uma faixa de comprimento infinito e que possui uma largura W com distribuição superficial de carga rho, C / m^2. Determine o vetor intensidade de campo elétrico em um ponto que seja perpendicular à faixa e localizado a uma distância d do seu centro.

Passo 1

O enunciado descreve uma faixa infinitamente longa (digamos ao longo do eixo x) de largura W no eixo y, com densidade superficial de carga rho. Precisamos encontrar o vetor intensidade do campo elétrico num ponto P situado a uma distância d do plano médio da faixa, na direção perpendicular (eixo z). O conteúdo principal é usar superposição de elementos de linha carregados e a fórmula do campo de uma linha infinita.

Passo 2

Dividimos a faixa em tiras infinitas ao longo de x. Cada tirinha, localizada em y, tem carga por unidade de comprimento (ao longo de x)
dlambda = rho,dy
O ponto P fica a uma distância perpendicular
R = raizd^2 + y^2
da tira em y.

Passo 3

O módulo do campo criado por uma linha infinita com densidade dlambda a distância R é
dE = dlambda2piepsilon0,R =rho,dy2piepsilon0,raizd^2+y^2
Por simetria em y, apenas a componente em z sobrevive. Projetando:
dEz = dE;dR =rho,d,dy2piepsilon0,(d^2+y^2)

Passo 4

Integramos dEz de y=-W/2 a y=+W/2. Como o integrando é par em y, fazemos
Ez =2integral0^W/2rho,d2piepsilon0,(d^2+y^2),dy =rho,dpiepsilon0integral0^W/2dyd^2+y^2
Usamos
integraldyd^2+y^2=1darctan!l(tfracydr),
de 0 a W/2.

Passo 5

Substituindo os limites:
Ez =rho,dpiepsilon0cdot1dl[arctan!l(tfracW/2dr)-arctan(0)r] =rhopiepsilon0,arctan!l(tfracW2dr)
A direção é ao longo de hat z, saindo da faixa se rho>0.

Resposta

E =rhopiepsilon0,arctan!l(W2dr),z

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