3.2.4 Um anel de cargas de raio
possui uma densidade linear de carga de
que está uniformemente distribuída ao longo do anel. Determine o campo elétrico a uma distância
ao longo de uma linha perpendicular ao anel e centrada nele. Calcule esse resultado para uma distância muito maior que o raio do anel. Esse resultado para pontos distantes deve se reduzir àquele para uma carga pontual. Por quê?
Passo 1
O enunciado trata de um anel de raio
com densidade linear de carga
e pede o campo elétrico no ponto
sobre o eixo que atravessa o centro do anel a uma distância
do plano do anel.
Conteúdo: campo de uma distribuição contínua de carga e simetria cilíndrica. Vamos usar integração em coordenadas cilíndricas e decompor o campo de um elemento de carga.
Conteúdo: campo de uma distribuição contínua de carga e simetria cilíndrica. Vamos usar integração em coordenadas cilíndricas e decompor o campo de um elemento de carga.
Passo 2
Escolhemos como elemento de carga uma fatia do anel de ângulo
. Esse elemento tem carga
e está a uma distância
do ponto
. Pelo princípio de superposição, o campo diferencial em
tem módulo
mas somente a componente ao longo do eixo (chamemos de
) soma, pois as componentes radiais se cancelam por simetria.
Passo 3
A componente axial de
é
Logo
Integrando
de
a
obtemos
Usando a carga total
, essa mesma expressão pode ser escrita como
Passo 4
Para
, temos
, logo
Passo 5
Esse resultado coincide com o campo de uma carga pontual
à distância
porque, a grandes distâncias, as dimensões do anel são desprezíveis e toda a carga parece concentrada no centro — comportamento típico de distribuições de carga de tamanho finito.