Rightarrow 3.2.4 Um anel de cargas de raio a possui uma densidade linear de carga de rhol C / m que está uniformemente distribuída ao longo do anel. Determine o campo elétrico a uma distância d ao longo de uma linha perpendicular ao anel e centrada nele. Calcule esse resultado para uma distância muito maior que o raio do anel. Esse resultado para pontos distantes deve se reduzir àquele para uma carga pontual. Por quê?

Passo 1

O enunciado trata de um anel de raio a com densidade linear de carga rhol e pede o campo elétrico no ponto P sobre o eixo que atravessa o centro do anel a uma distância d do plano do anel.
Conteúdo: campo de uma distribuição contínua de carga e simetria cilíndrica. Vamos usar integração em coordenadas cilíndricas e decompor o campo de um elemento de carga.

Passo 2

Escolhemos como elemento de carga uma fatia do anel de ângulo dphi. Esse elemento tem carga
dQ = rhol,a,dphi
e está a uma distância
r = raiza^2 + d^2
do ponto P. Pelo princípio de superposição, o campo diferencial em P tem módulo
dE = 14piepsilon0dQr^2
mas somente a componente ao longo do eixo (chamemos de z) soma, pois as componentes radiais se cancelam por simetria.

Passo 3

A componente axial de dE é
dEz = dEcostheta com costheta = dr
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dEz = 14piepsilon0 dQr^2 dr = 14piepsilon0 rhol,a,dphi(a^2+d^2) draiza^2+d^2 = rhol,a,d4piepsilon0(a^2+d^2)^3/2,dphi
Integrando phi de 0 a 2pi obtemos
Ez = integral0^2pidEz = rhol,a,d4piepsilon0(a^2+d^2)^3/2 ;2pi = rhol,a,d2epsilon0(a^2+d^2)^3/2
Usando a carga total Q=rhol(2pi a), essa mesma expressão pode ser escrita como
Ez = 14piepsilon0, Q,dl(a^2+d^2r)^3/2

Passo 4

Para dgg a, temos a^2+d^2approx d^2, logo
Ez approx 14piepsilon0 Q,dd^3 = 14piepsilon0Qd^2

Passo 5

Esse resultado coincide com o campo de uma carga pontual Q à distância d porque, a grandes distâncias, as dimensões do anel são desprezíveis e toda a carga parece concentrada no centro — comportamento típico de distribuições de carga de tamanho finito.

Resposta

boxedEz(d) = 14piepsilon0, Q,dl(a^2+d^2r)^3/2 e, para dgg a,; Ezapprox14piepsilon0Qd^2,

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