Duas linhas uniformes de cargas, densidade \lambda=5 \mathrm{nC} / \mathrm{m} cada, estão paralelas ao eixo x, uma em z=0 e y=-2 \mathrm{~m} e a outra em z=0 e y=4 \mathrm{~m}. Determine o vetor campo elétrico no ponto ( 4,1,3 )m.

Passo 1

O enunciado dá duas linhas infinitas de carga, cada uma com densidade linear \lambda=5\\ \mathrm{nC/m}=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}. As linhas são paralelas ao eixo x e estão localizadas em:
\text{Linha 1: } (y,z)=(-2,\,0),\qquad \text{Linha 2: } (y,z)=(4,\,0).
Ponto onde queremos o campo elétrico:
P=(x,y,z)=(4,\,1,\,3)\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede: determinar o vetor campo elétrico \vec{E} em P devido às duas linhas de carga.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (campo de uma linha infinita de carga, simétrica em torno da linha):
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},
onde
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m};
  • r é a distância perpendicular entre a linha e o ponto onde se calcula o campo.
    Direção: o campo é radial (no plano perpendicular à linha) e aponta para fora se \lambda>0, para dentro se \lambda<0. Como as linhas são paralelas ao eixo x, o campo de cada linha tem componente somente nas direções y e z (nenhuma componente em x por simetria).

Passo 3

Para cada linha escolhemos um ponto na própria linha com a mesma coordenada x do ponto P (assim o vetor entre esses pontos fica no plano perpendicular à linha, sem componente em x). Para a linha 1 (em y=-2,z=0) e ponto P com x=4 escolhemos o ponto da linha (4,-2,0). O vetor do ponto da linha até P é
\vec{r}_1 = (0,\;1-(-2),\;3-0) = (0,\;3,\;3).
Para a linha 2 (em y=4,z=0) escolhemos (4,4,0). O vetor até P é
\vec{r}_2 = (0,\;1-4,\;3-0) = (0,\;-3,\;3).
Distâncias perpendiculares:
\|\vec{r}_1\|=\|\vec{r}_2\|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.

Passo 4

Unidades de direção (vetores unitários) no plano perpendicular:
\hat{u}_1=\frac{\vec{r}_1}{\|\vec{r}_1\|}=\left(0,\frac{3}{3\sqrt{2}},\frac{3}{3\sqrt{2}}\right)=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
\hat{u}_2=\frac{\vec{r}_2}{\|\vec{r}_2\|}=\left(0,\frac{-3}{3\sqrt{2}},\frac{3}{3\sqrt{2}}\right)=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Interpretação: para a linha 1 o campo aponta com componentes positivas em y e z; para a linha 2 tem componente negativa em y e positiva em z.

Passo 5

Magnitude do campo produzido por cada linha (mesma distância r=3\sqrt{2}):
E_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} =\frac{5\times10^{-9}}{2\pi(8{,}854187817\times10^{-12})\,(3\sqrt{2})}.
Vamos calcular numericamente passo a passo:
2\pi\varepsilon_0 \approx 2\pi(8{,}854187817\times10^{-12})\approx 5{,}567764362\times10^{-11}.
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\approx\frac{5\times10^{-9}}{5{,}567764362\times10^{-11}}\approx 89{,}807\\ \mathrm{(N\cdot m)/C}.
E_{\text{linha}}=\frac{89{,}807}{3\sqrt{2}}\approx\frac{89{,}807}{4{,}242640687}\approx 21{,}171\\ \mathrm{N/C}.
Portanto cada linha produz um campo de magnitude aproximadamente 21{,}17\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Componentes dos campos individuais (multiplicando magnitude pelo vetor unitário):
\vec{E}_1 = E_{\text{linha}}\;\hat{u}_1 =21{,}171\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx(0,\;14{,}97,\;14{,}97)\\ \mathrm{N/C},
\vec{E}_2 = E_{\text{linha}}\;\hat{u}_2 =21{,}171\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx(0,\;-14{,}97,\;14{,}97)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Somando os dois campos:
  • componente x: 0+0=0;
  • componente y: 14{,}97+(-14{,}97)=0 (cancelam por simetria);
  • componente z: 14{,}97+14{,}97=29{,}94\\ \mathrm{N/C}.
    Logo o campo total é
\vec{E}=(0,\;0,\;29{,}94)\\ \mathrm{N/C}.
Observação elegante (forma simbólica): substituindo simbolicamente obtém-se a simplificação
E_z^{\text{total}}=\frac{\lambda}{6\pi\varepsilon_0},
pois os fatores numéricos se cancelam como mostrado nas contas acima. Substituindo \lambda=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m} E_z^{\text{total}}\approx29{,}94\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Interpretação física curta e incentivo: as componentes em y se anulam porque o ponto está simetricamente colocado entre as duas linhas em relação a y (uma acima e outra abaixo), enquanto as componentes em z somam porque ambas as linhas “empurram” o campo na mesma direção positiva de z. Você foi bem — só seguir essas etapas na prova que dá certo!

Resposta

\displaystyle \vec{E}=(0,\;0,\;29{,}94)\\ \mathrm{N/C}

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