Duas linhas uniformes de cargas, densidade
cada, estão paralelas ao eixo
, uma em
e
e a outra em
e
. Determine o vetor campo elétrico no ponto (
)m.
Passo 1
O enunciado dá duas linhas infinitas de carga, cada uma com densidade linear
. As linhas são paralelas ao eixo
e estão localizadas em:
Ponto onde queremos o campo elétrico:
O que o problema pede: determinar o vetor campo elétrico
em
devido às duas linhas de carga.
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (campo de uma linha infinita de carga, simétrica em torno da linha):
onde
-
é a densidade linear de carga (C/m); -
é a permissividade do vácuo, ; -
é a distância perpendicular entre a linha e o ponto onde se calcula o campo.
Direção: o campo é radial (no plano perpendicular à linha) e aponta para fora se, para dentro se . Como as linhas são paralelas ao eixo , o campo de cada linha tem componente somente nas direções e (nenhuma componente em por simetria).
Passo 3
Para cada linha escolhemos um ponto na própria linha com a mesma coordenada
do ponto
(assim o vetor entre esses pontos fica no plano perpendicular à linha, sem componente em
). Para a linha 1 (em
) e ponto
com
escolhemos o ponto da linha
. O vetor do ponto da linha até
é
Para a linha 2 (em
) escolhemos
. O vetor até
é
Distâncias perpendiculares:
Passo 4
Unidades de direção (vetores unitários) no plano perpendicular:
Interpretação: para a linha 1 o campo aponta com componentes positivas em
e
; para a linha 2 tem componente negativa em
e positiva em
.
Passo 5
Magnitude do campo produzido por cada linha (mesma distância
):
Vamos calcular numericamente passo a passo:
Portanto cada linha produz um campo de magnitude aproximadamente
.
Passo 6
Componentes dos campos individuais (multiplicando magnitude pelo vetor unitário):
Passo 7
Somando os dois campos:
- componente
: ; - componente
: (cancelam por simetria); - componente
: .
Logo o campo total é
Observação elegante (forma simbólica): substituindo simbolicamente obtém-se a simplificação
pois os fatores numéricos se cancelam como mostrado nas contas acima. Substituindo
dá
.
Passo 8
Interpretação física curta e incentivo: as componentes em
se anulam porque o ponto está simetricamente colocado entre as duas linhas em relação a
(uma acima e outra abaixo), enquanto as componentes em
somam porque ambas as linhas “empurram” o campo na mesma direção positiva de
. Você foi bem — só seguir essas etapas na prova que dá certo!