Determine o vetor campo elétrico na origem, devido a uma distribuição linear de cargas constante \operatorname{com} \lambda=3,3 \mathrm{nC} / \mathrm{m}, localizada em x=3 \mathrm{~m} e y=4 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o campo elétrico no ponto origem devido a uma distribuição linear de carga com densidade linear \lambda=3,3\\ \mathrm{nC/m} localizada em x=3\\ \mathrm{m} e y=4\\ \mathrm{m}.
Informações dadas (explicitamente):
\lambda = 3,3\\ \mathrm{nC/m}
o ponto onde queremos o campo é a origem (0,0,0), e a linha de carga passa por (3,4) no plano xy (ou seja, sua posição transversal é (3,4)).
Não há outras informações no enunciado (por exemplo comprimento ou orientação explícita) — isso já é tudo que temos.

Passo 2

Escolha do modelo (por que isso?): o enunciado fala em “distribuição linear de cargas” e especifica apenas uma posição (x=3,\\ y=4). A interpretação natural e usual em eletrostática é tratar essa distribuição como uma linha reta infinita de carga, paralela ao eixo z, localizada na posição transversal (3,4) no plano xy. Se fosse uma linha de comprimento finito isso teria sido informado (extremos), então assumimos linha infinita paralela a z. Vou usar esse modelo para calcular o campo no ponto origem.

Passo 3

Calcular a distância perpendicular entre a linha e a origem (é a distância no plano xy entre (3,4) e (0,0)). Essa distância é a norma do vetor (3,4):
r = \sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Fórmula do campo de uma linha de carga infinita (derivação curta e intuitiva):
  • Pelo Teorema de Gauss, para uma linha infinita com densidade \lambda a simetria cilíndrica dá um campo radial no plano perpendicular à linha cuja magnitude depende só de r. Tomando uma superfície cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L, o fluxo elétrico pela superfície lateral é E\cdot(2\pi r L). A carga contida é \lambda L. Pela lei de Gauss:
E\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L:
\boxed{E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}}.
Aqui E(r) é a magnitude do campo a distância r da linha, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \lambda é a densidade linear. Explicando variáveis:
  • \lambda: carga por unidade de comprimento (em C/m),
  • \varepsilon_0: constante do meio (no vácuo \varepsilon_0\approx 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}),
  • r: distância perpendicular da linha ao ponto onde se calcula E.

Passo 5

Calcular a magnitude numérica do campo usando a fórmula. Primeiro escrevo os valores em unidades SI:
\lambda = 3,3\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},\qquad \varepsilon_0 = 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad r=5\\ \mathrm{m}.
Substituindo em
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}
temos (vou calcular passo a passo):
2\pi\varepsilon_0 = 2\pi\cdot 8,854187817\times10^{-12}\approx 5,56325135\times10^{-11}
2\pi\varepsilon_0 r \approx 5,56325135\times10^{-11}\times 5 \approx 2,781625675\times10^{-10}
E \approx \frac{3,3\times10^{-9}}{2,781625675\times10^{-10}}\approx 11,866\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando de forma prática para duas casas significativas:
E\approx 11,87\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Direção do campo: a linha tem carga positiva ( \lambda>0), então o campo elétrico aponta radialmente para fora da linha (afasta cargas de mesmo sinal). O vetor que vai do ponto da linha (3,4) até a origem (0,0) é
\vec{r} = (0-3,\,0-4,\,0) = (-3,\,-4,\,0).
O versor (vetor unitário) nessa direção é
\hat{u}=\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|}=\frac{(-3,-4,0)}{5}=\left(-\tfrac{3}{5},\,-\tfrac{4}{5},\,0\right)=(-0,6,\,-0,8,\,0).

Passo 7

Multiplicando a magnitude pelo versor para obter as componentes:
E_x = E\cdot\left(-\tfrac{3}{5}\right)\approx 11,866\cdot(-0,6)\approx -7,120
E_y = E\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)\approx 11,866\cdot(-0,8)\approx -9,493
Arredondando a duas casas decimais:
E_x\approx -7,12\\ \mathrm{V/m},\qquad E_y\approx -9,49\\ \mathrm{V/m},\qquad E_z=0.

Passo 8

Escrevendo o vetor campo no ponto origem na forma vetorial com vetores unitários:
\vec{E}(0,0,0)\approx -7,12\,\hat{\mathbf{i}} - 9,49\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(0,0,0)\approx -7,12\,\hat{\mathbf{i}} - 9,49\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{V/m}

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