Determine o vetor campo elétrico na origem, devido a uma distribuição linear de cargas constante
, localizada em
e
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar o campo elétrico no ponto origem devido a uma distribuição linear de carga com densidade linear
localizada em
e
.
Informações dadas (explicitamente):
o ponto onde queremos o campo é a origem
, e a linha de carga passa por
no plano
(ou seja, sua posição transversal é
).
Não há outras informações no enunciado (por exemplo comprimento ou orientação explícita) — isso já é tudo que temos.
Não há outras informações no enunciado (por exemplo comprimento ou orientação explícita) — isso já é tudo que temos.
Passo 2
Escolha do modelo (por que isso?): o enunciado fala em “distribuição linear de cargas” e especifica apenas uma posição
. A interpretação natural e usual em eletrostática é tratar essa distribuição como uma linha reta infinita de carga, paralela ao eixo
, localizada na posição transversal
no plano
. Se fosse uma linha de comprimento finito isso teria sido informado (extremos), então assumimos linha infinita paralela a
. Vou usar esse modelo para calcular o campo no ponto origem.
Passo 3
Calcular a distância perpendicular entre a linha e a origem (é a distância no plano
entre
e
). Essa distância é a norma do vetor
:
Passo 4
Fórmula do campo de uma linha de carga infinita (derivação curta e intuitiva):
- Pelo Teorema de Gauss, para uma linha infinita com densidade
a simetria cilíndrica dá um campo radial no plano perpendicular à linha cuja magnitude depende só de . Tomando uma superfície cilíndrica coaxial de raio e comprimento , o fluxo elétrico pela superfície lateral é . A carga contida é . Pela lei de Gauss:
Cancelando
:
Aqui
é a magnitude do campo a distância
da linha,
é a permissividade do vácuo e
é a densidade linear. Explicando variáveis:
-
: carga por unidade de comprimento (em C/m), -
: constante do meio (no vácuo ), -
: distância perpendicular da linha ao ponto onde se calcula .
Passo 5
Calcular a magnitude numérica do campo usando a fórmula. Primeiro escrevo os valores em unidades SI:
Substituindo em
temos (vou calcular passo a passo):
Arredondando de forma prática para duas casas significativas:
Passo 6
Direção do campo: a linha tem carga positiva (
), então o campo elétrico aponta radialmente para fora da linha (afasta cargas de mesmo sinal). O vetor que vai do ponto da linha
até a origem
é
O versor (vetor unitário) nessa direção é
Passo 7
Multiplicando a magnitude pelo versor para obter as componentes:
Arredondando a duas casas decimais:
Passo 8
Escrevendo o vetor campo no ponto origem na forma vetorial com vetores unitários: