a) Duas naves se afastam da Terra com velocidade
, cada uma numa trajetória diametralmente oposta à da outra. Com que velocidade um astronauta de uma das naves vê a outra se afastar?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Duas naves se afastam da Terra com velocidade
cada uma. - As trajetórias são diametralmente opostas (ou seja, em sentidos contrários em relação à Terra).
- Pergunta: com que velocidade um astronauta de uma das naves vê a outra se afastar?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Velocidade da nave A em relação à Terra:
(escolhi o sinal + para indicar um sentido). - Velocidade da nave B em relação à Terra:
(oposta à de A).
Passo 2
Por que não podemos somar simplesmente as velocidades (método clássico)?
No mecânica clássica inseriríamos , o que daria uma velocidade maior que
. Sabemos que, segundo a teoria da relatividade restrita, nenhuma velocidade física observada pode exceder
. Portanto devemos usar a regra relativística de adição de velocidades.
No mecânica clássica inseriríamos
Passo 3
Apresentando a fórmula relativística de transformação de velocidades (a ideia e a fórmula):
Considere dois referenciais inerciais (Terra) e
(referencial da nave A) onde
se move com velocidade
em relação a
. Se um objeto tem velocidade
em
, a velocidade desse objeto medida em
é dada por
Considere dois referenciais inerciais
Explicação rápida do que cada símbolo significa:
-
é a velocidade do objeto medida no referencial (aqui: a velocidade da outra nave medida na Terra). -
é a velocidade de em relação a (aqui: a velocidade da nave do observador medida na Terra). -
é a velocidade do objeto medida no referencial (o que queremos: velocidade da outra nave medida pelo astronauta).
Essa fórmula vem diretamente da transformação de Lorentz parae e do cálculo — se quiser, posso detalhar essa derivação, mas por enquanto vamos aplicar a fórmula.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: queremos a velocidade da nave B medida pelo astronauta da nave A. No esquema acima:
- tome
e . Assim
Substituindo
e
:
Logo
Passo 5
Interpretação e observação final:
O sinal negativo indica que, no referencial da nave A, a outra nave se afasta no sentido oposto ao que foi escolhido como positivo — ou seja, está se afastando. O módulo da velocidade é . Note que esse valor é menor que
(como deve ser) e menor que a soma clássica
, mostrando o efeito relativístico.
O sinal negativo indica que, no referencial da nave A, a outra nave se afasta no sentido oposto ao que foi escolhido como positivo — ou seja, está se afastando. O módulo da velocidade é