a) Duas naves se afastam da Terra com velocidade 0,60 c, cada uma numa trajetória diametralmente oposta à da outra. Com que velocidade um astronauta de uma das naves vê a outra se afastar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Duas naves se afastam da Terra com velocidade \,0,60c cada uma.
  • As trajetórias são diametralmente opostas (ou seja, em sentidos contrários em relação à Terra).
  • Pergunta: com que velocidade um astronauta de uma das naves vê a outra se afastar?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Velocidade da nave A em relação à Terra: \,v_A=+0,60c (escolhi o sinal + para indicar um sentido).
  • Velocidade da nave B em relação à Terra: \,v_B=-0,60c (oposta à de A).

Passo 2

Por que não podemos somar simplesmente as velocidades (método clássico)?
No mecânica clássica inseriríamos \,v_{\text{rel,clássica}}=0,60c+0,60c=1,20cá, o que daria uma velocidade maior que \,c. Sabemos que, segundo a teoria da relatividade restrita, nenhuma velocidade física observada pode exceder \,c. Portanto devemos usar a regra relativística de adição de velocidades.

Passo 3

Apresentando a fórmula relativística de transformação de velocidades (a ideia e a fórmula):
Considere dois referenciais inerciais S (Terra) e S' (referencial da nave A) onde S' se move com velocidade \,v em relação a S. Se um objeto tem velocidade \,u em S, a velocidade desse objeto medida em S' é dada por
u'=\frac{u-v}{1-\dfrac{u v}{c^{2}}}.
Explicação rápida do que cada símbolo significa:
  • \,u é a velocidade do objeto medida no referencial S (aqui: a velocidade da outra nave medida na Terra).
  • \,v é a velocidade de S' em relação a S (aqui: a velocidade da nave do observador medida na Terra).
  • \,u' é a velocidade do objeto medida no referencial S' (o que queremos: velocidade da outra nave medida pelo astronauta).
    Essa fórmula vem diretamente da transformação de Lorentz para x e t e do cálculo \,u'=dx'/dt' — se quiser, posso detalhar essa derivação, mas por enquanto vamos aplicar a fórmula.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: queremos a velocidade da nave B medida pelo astronauta da nave A. No esquema acima:
  • tome \,u=v_{B} e \,v=v_{A}. Assim
u'=\frac{v_{B}-v_{A}}{1-\dfrac{v_{A}v_{B}}{c^{2}}}.
Substituindo \,v_{A}=+0,60c e \,v_{B}=-0,60c:
\text{numerador} = v_{B}-v_{A} = -0,60c - 0,60c = -1,20c,
\text{denominador} = 1-\dfrac{v_{A}v_{B}}{c^{2}} = 1-\dfrac{(0,60c)(-0,60c)}{c^{2}} = 1 - (-0,36) = 1 + 0,36 = 1,36.
Logo
u'=\frac{-1,20c}{1,36} = -0,882352941\;c\approx -0,882c.

Passo 5

Interpretação e observação final:
O sinal negativo indica que, no referencial da nave A, a outra nave se afasta no sentido oposto ao que foi escolhido como positivo — ou seja, está se afastando. O módulo da velocidade é \,0,882c. Note que esse valor é menor que \,c (como deve ser) e menor que a soma clássica 1,20c, mostrando o efeito relativístico.

Resposta

\,0,882352941c \approx 0,882c

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