Duas ondas eletromagnéticas se propagando no vácuo possuem mesma amplitude e frequência e que seus campos elétricos oscilam paralelamente dados por:
a) Sabe-se que esses campos estão defasados entre si em
. Ache o campo resultante
(use uma identidade trigonométrica demonstrada em sala de aula).
b) A partir do campo resultante
encontrado no item anterior, determine o valor médio do vetor de Poynting
, sabendo que o campo magnético se propaga na direção de
.
b) A partir do campo resultante
Passo 1
O enunciado dá duas ondas eletromagnéticas no vácuo com mesma amplitude e frequência, cujos campos elétricos oscilam paralelamente:
Pede-se:
a) achar o campo resultante sabendo que a defasagem é de
, isto é
.
b) a partir do campo resultante, determinar o valor médio do vetor de Poynting , sabendo que a direção de propagação é
(o campo elétrico está em
).
a) achar o campo resultante
b) a partir do campo resultante, determinar o valor médio do vetor de Poynting
Passo 2
Vamos somar duas senoides iguais com defasagem usando a identidade trigonométrica de soma-para-produto. A identidade (que normalmente se demonstra com soma e diferença de ângulos) é:
Explicando rápido: escrevemos
e
e somando usamos fórmulas de seno da soma/subtração para chegar na identidade acima. Essa identidade transforma a soma de duas senoides em um produto (uma senoide com fase média multiplicada por um fator de amplitude).
Passo 3
Aplique a identidade com
e
. Calculamos:
Usando a identidade:
Como
é par,
. Multiplicando pelo fator
e recolocando o vetor
, obtemos o campo resultante geral:
Passo 4
Agora substituímos
(que é
). Calculamos
e
. Assim:
Portanto o campo resultante fica
Interpretação física rápida: as duas ondas se somaram formando uma única onda com amplitude aumentada para
e fase deslocada em
.
Passo 5
Para calcular o vetor de Poynting precisamos do campo magnético resultante
. Em uma onda plana no vácuo as relações são:
-
, onde é a direção de propagação (aqui ) e é a velocidade da luz no vácuo. Essa relação vem de Maxwell e diz que e são mutuamente perpendiculares e que as amplitudes se relacionam por .
Aplicandoe usando o campo resultante , obtemos
Passo 6
O vetor de Poynting instantâneo é
Fazendo a multiplicação vetorial com
e
(onde
), temos
Como
, segue
Portanto o vetor de Poynting instantâneo é
Observe que
, então
Passo 7
Queremos o valor médio temporal
. Para uma função
de uma onda monochromática, a média temporal é
. Assim
Podemos reescrever usando
(já que
), obtendo a forma usual: