Duas ondas eletromagnéticas se propagando no vácuo possuem mesma amplitude e frequência e que seus campos elétricos oscilam paralelamente dados por:
\vec{E}_{1}=E_{0} \sin (\omega t-k x) \hat{z} \quad e \quad \vec{E}_{2}=E_{0} \sin (\omega t-k x+\delta) \hat{z}
a) Sabe-se que esses campos estão defasados entre si em 60(\pi / 3). Ache o campo resultante \vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2} (use uma identidade trigonométrica demonstrada em sala de aula).
b) A partir do campo resultante \vec{E} encontrado no item anterior, determine o valor médio do vetor de Poynting \langle\vec{S}\rangle, sabendo que o campo magnético se propaga na direção de \hat{x}.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas eletromagnéticas no vácuo com mesma amplitude e frequência, cujos campos elétricos oscilam paralelamente:
\vec{E}_{1}=E_{0}\sin(\omega t-kx)\hat{z}
\vec{E}_{2}=E_{0}\sin(\omega t-kx+\delta)\hat{z}
Pede-se:
a) achar o campo resultante \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2 sabendo que a defasagem é de 60^\circ, isto é \delta=\pi/3.
b) a partir do campo resultante, determinar o valor médio do vetor de Poynting \langle\vec{S}\rangle, sabendo que a direção de propagação é \hat{x} (o campo elétrico está em \hat{z}).

Passo 2

Vamos somar duas senoides iguais com defasagem usando a identidade trigonométrica de soma-para-produto. A identidade (que normalmente se demonstra com soma e diferença de ângulos) é:
\sin A + \sin B = 2\sin\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Explicando rápido: escrevemos \sin A = \sin\big(\tfrac{A+B}{2} + \tfrac{A-B}{2}\big) e \sin B = \sin\big(\tfrac{A+B}{2} - \tfrac{A-B}{2}\big) e somando usamos fórmulas de seno da soma/subtração para chegar na identidade acima. Essa identidade transforma a soma de duas senoides em um produto (uma senoide com fase média multiplicada por um fator de amplitude).

Passo 3

Aplique a identidade com A=\omega t-kx e B=\omega t-kx+\delta. Calculamos:
\frac{A+B}{2}=\omega t-kx+\frac{\delta}{2}
\frac{A-B}{2}=-\frac{\delta}{2}.
Usando a identidade:
\sin(\omega t-kx)+\sin(\omega t-kx+\delta)=2\sin\!\Big(\omega t-kx+\frac{\delta}{2}\Big)\cos\!\Big(-\frac{\delta}{2}\Big).
Como \cos é par, \cos(-\tfrac{\delta}{2})=\cos(\tfrac{\delta}{2}). Multiplicando pelo fator E_{0} e recolocando o vetor \hat{z}, obtemos o campo resultante geral:
\vec{E}=2E_{0}\cos\!\Big(\frac{\delta}{2}\Big)\sin\!\Big(\omega t-kx+\frac{\delta}{2}\Big)\hat{z}.

Passo 4

Agora substituímos \delta=\pi/3 (que é 60^\circ). Calculamos \cos(\delta/2)=\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{2} e \delta/2=\pi/6. Assim:
2E_{0}\cos\!\Big(\frac{\pi}{6}\Big)=2E_{0}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=E_{0}\sqrt{3}.
Portanto o campo resultante fica
\vec{E}=E_{0}\sqrt{3}\,\sin\!\Big(\omega t-kx+\frac{\pi}{6}\Big)\hat{z}.
Interpretação física rápida: as duas ondas se somaram formando uma única onda com amplitude aumentada para E_{0}\sqrt{3} e fase deslocada em \pi/6.

Passo 5

Para calcular o vetor de Poynting precisamos do campo magnético resultante \vec{B}. Em uma onda plana no vácuo as relações são:
  • \vec{B}=\dfrac{1}{c}\,\hat{k}\times\vec{E}, onde \hat{k} é a direção de propagação (aqui \hat{k}=\hat{x}) e c é a velocidade da luz no vácuo. Essa relação vem de Maxwell e diz que \vec{E},\vec{B} e \hat{k} são mutuamente perpendiculares e que as amplitudes se relacionam por B=E/c.
    Aplicando \hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y} e usando o campo resultante E_{z}=E_{0}\sqrt{3}\sin(\omega t-kx+\pi/6), obtemos
\vec{B}=-\frac{E_{0}\sqrt{3}}{c}\sin\!\Big(\omega t-kx+\frac{\pi}{6}\Big)\hat{y}.

Passo 6

O vetor de Poynting instantâneo é
\vec{S}(t)=\frac{1}{\mu_{0}}\;\vec{E}\times\vec{B}.
Fazendo a multiplicação vetorial com \vec{E}=E_{z}\hat{z} e \vec{B}=B_{y}\hat{y} (onde B_{y}=-E_{z}/c), temos
\vec{E}\times\vec{B}=E_{z}B_{y}\,\hat{z}\times\hat{y}=E_{z}\Big(-\frac{E_{z}}{c}\Big)(\hat{z}\times\hat{y}).
Como \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}, segue
\vec{E}\times\vec{B}=\frac{E_{z}^{2}}{c}\,\hat{x}.
Portanto o vetor de Poynting instantâneo é
\vec{S}(t)=\frac{E_{z}^{2}}{\mu_{0}c}\,\hat{x}.
Observe que E_{z}=E_{0}\sqrt{3}\sin\!\big(\omega t-kx+\tfrac{\pi}{6}\big), então
\vec{S}(t)=\frac{(E_{0}\sqrt{3})^{2}\sin^{2}\!\big(\omega t-kx+\tfrac{\pi}{6}\big)}{\mu_{0}c}\,\hat{x} =\frac{3E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\sin^{2}\!\Big(\omega t-kx+\frac{\pi}{6}\Big)\hat{x}.

Passo 7

Queremos o valor médio temporal \langle\vec{S}\rangle. Para uma função \sin^{2} de uma onda monochromática, a média temporal é \langle\sin^{2}(\cdot)\rangle=1/2. Assim
\langle\vec{S}\rangle=\frac{3E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\cdot\frac{1}{2}\,\hat{x}=\frac{3E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}\,\hat{x}.
Podemos reescrever usando 1/(\mu_{0}c)=\varepsilon_{0}c (já que c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}), obtendo a forma usual:
\langle\vec{S}\rangle=\frac{3}{2}\,\varepsilon_{0}c\,E_{0}^{2}\,\hat{x}.

Resposta

\vec{E}=E_{0}\sqrt{3}\,\sin\!\Big(\omega t-kx+\frac{\pi}{6}\Big)\hat{z}
\langle\vec{S}\rangle=\frac{3E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}\,\hat{x}=\frac{3}{2}\,\varepsilon_{0}c\,E_{0}^{2}\,\hat{x}

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