A seguir são dadas as equações de onda deduzidas a partir das equações diferenciais de Maxwell para campos elétricos e magnéticos no vácuo.
em que
é a velocidade da luz no vácuo.
a) Sabe-se que as soluções para onda plana das equações de onda dos campos elétrico e magnético são
e
. Aplique os operadores divergente e rotacional e use as equações de Maxwell para mostrar que os campos elétrico e magnético são perpendiculares
entre si e ambos ao vetor de onda
e mostre que esses campos estão em fase, ou seja,
.
Admita que o campo elétrico está na direção
e o campo magnético está na direção
. A partir da definição de vetor de Poynting
, mostre que o valor médio desse vetor é dado por:
a) Sabe-se que as soluções para onda plana das equações de onda dos campos elétrico e magnético são
entre si e ambos ao vetor de onda
Admita que o campo elétrico está na direção
Passo 1
O enunciado dá as equações de onda no vácuo
as formas de onda plana
e a definição do vetor de Poynting
O que é pedido:
- Usar os operadores divergente e rotacional e as equações de Maxwell no vácuo para mostrar que
e são perpendiculares entre si e ambos perpendiculares a . - Mostrar que os campos estão em fase e que
(mais precisamente ). - Admitindo
na direção e na direção , calcular a média temporal de e mostrar as formas
Passo 2
Anotemos as equações de Maxwell no vácuo (sem cargas nem correntes). Essas são essenciais e vale entender o que cada uma diz:
Explicação rápida das operações (intuitiva):
(divergente) mede quanto um campo “afasta” linhas de campo num ponto;
(rotacional) mede o quanto o campo “gira” ao redor de um ponto. Vamos aplicar essas operações às soluções dadas. Lembre que
e
são vetores constantes (amplitudes) e que a função
é a parte escalar que depende de
e
.
Cálculo útil (cadeia/gradiente):
Usaremos essas identidades.
Passo 3
Aplicando o divergente ao campo elétrico:
Mas pela equação de Maxwell
para todo
. A função
não é identicamente zero, logo a única possibilidade é
Isto mostra que
(e portanto
em cada ponto) é perpendicular a
.
Do mesmo modo para
:
implica
logo
também é perpendicular a
.
Conclusão parcial:
e
.
Passo 4
Agora aplicamos o rotacional a
e usamos a lei de Faraday. Calculamos
Pela equação de Maxwell
. Calculando o lado direito:
Igualando ambos os lados (e simplificando o fator comum
), obtemos
Dessa relação segue que
é proporcional a
, isto é,
é perpendicular tanto a
quanto a
. Assim
e
são mutuamente perpendiculares.
Passo 5
Para ligar as magnitudes usamos a equação de onda (dada no enunciado). Aplique a Laplaciana à solução de
:
porque
(aqui
). O lado temporal da equação de onda é
Igualando os dois lados pela equação de onda obtém-se a relação de dispersão
ou seja
Agora volte à relação vetorial do passo anterior
. Tomando magnitude e lembrando que
(logo
), obtemos
Usando
resulta
Isto dá a relação de magnitude entre os campos:
. Além disso, como ambas as soluções originais têm o mesmo argumento
, os campos oscilam com a mesma fase; portanto estão em fase (não há defasagem).
Passo 6
Resumo físico e interpretação curta (para lembrar na prova):
,
e
formam um sistema ortogonal de vetores com
na direção de propagação;
e
estão em fase e suas amplitudes satisfazem
. A relação de dispersão
é consequência da equação de onda.
Passo 7
Agora calculemos o vetor de Poynting instantâneo e sua média temporal para o caso pedido: assuma
Primeiro o produto vetorial:
Usando
obtemos
Logo o vetor de Poynting instantâneo é
Passo 8
A média temporal sobre um período
de
é
. Portanto a média temporal do vetor de Poynting é
Passo 9
Usando a relação já obtida
podemos escrever
em duas formas equivalentes. Em termos de
:
Em termos de
(usando
):