Duas fontes sonoras \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2} produzem som com mesma frequência, mesma amplitude de pressão e mesmas condições iniciais de fase. Um observador está ligeiramente mais próximo de uma das fontes. As ondas progressivas de pressão são dadas pelas funções p_{1}\left(x_{1}, t\right)=p_{0} \sin \left(k x_{1}-\omega t\right) e p_{2}\left(x_{2}, t\right)=p_{0} \sin \left(k x_{2}-\right. \omega t ).
a) Determine a diferença de fase \delta devido à diferença de caminho das duas ondas de pressão.
b) Sabe-se que as duas fontes estão às distâncias de \mathbf{2 , 0 0 m} e \mathbf{2 , 6 8} m, respectivamente e que as ondas de pressão possuem velocidade de 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e amplitude p_{0}. Calcule as diferenças de fase para as frequências de (i) 1000 Hz , (ii) 500 Hz e (iii) 250 Hz e (iv) 2000 Hz .
c) Calcule as amplitudes de pressão para cada frequência da no item anterior. Use uma expressão que lhe permita calcular as amplitudes a partir das diferenças de fase \delta.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas de pressão progressivas, com mesma frequência, mesma amplitude e mesma fase inicial, medidas em posições diferentes:
p_{1}(x_{1},t)=p_{0}\sin\bigl(kx_{1}-\omega t\bigr)
p_{2}(x_{2},t)=p_{0}\sin\bigl(kx_{2}-\omega t\bigr)
Dados numéricos fornecidos: as distâncias ao observador são \,x_{1}=2{,}00\\ \mathrm{m} e \,x_{2}=2{,}68\\ \mathrm{m}, portanto a diferença de caminho é \Delta x=x_{2}-x_{1}=0{,}68\\ \mathrm{m}. A velocidade do som é v=340\\ \mathrm{m/s}. As frequências pedidas são f=1000\\ \mathrm{Hz},\\\ 500\\ \mathrm{Hz},\\\ 250\\ \mathrm{Hz},\\\ 2000\\ \mathrm{Hz}.
Perguntas:
a) determinar a diferença de fase \delta decorrente da diferença de caminho;
b) calcular \delta numericamente para as quatro frequências dadas;
c) calcular a amplitude resultante da soma das ondas para cada uma dessas frequências, usando uma expressão em função de \delta.

Passo 2

Vamos entender o que é diferença de fase aqui. A fase instantânea de cada onda é o argumento do seno:
\phi_1=kx_1-\omega t,\qquad \phi_2=kx_2-\omega t.
A diferença de fase entre as duas ondas no mesmo instante é
\delta=\phi_2-\phi_1=kx_2-\omega t-(kx_1-\omega t)=k\,(x_2-x_1)=k\,\Delta x.
Isso já nos dá uma expressão simples: a diferença de fase é o número de onda k multiplicado pela diferença de caminhos \Delta x. Aqui, k é o número de onda (medido em \mathrm{rad/m}) que relaciona o comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Também sabemos que velocidade, frequência e comprimento de onda se relacionam por
v=f\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{v}{f}.
Substituindo \lambda em k obtemos
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi f}{v}.

Passo 3

Usando a expressão de k em termos de f e v, a diferença de fase fica
\delta=k\,\Delta x=\frac{2\pi f}{v}\,\Delta x.
Essa é a fórmula prática que vamos usar. É intuitivo: quanto maior a frequência ou a diferença de caminho, maior a diferença de fase; quanto maior a velocidade de propagação, menor a diferença de fase para a mesma \Delta x.

Passo 4

Agora calculamos numericamente \delta usando \Delta x=0{,}68\\ \mathrm{m} e v=340\\ \mathrm{m/s}. Aplicando
\delta=\frac{2\pi f\,\Delta x}{v},
fazemos cada caso:
(i) f=1000\\ \mathrm{Hz}:
\delta=\frac{2\pi\cdot 1000\cdot 0{,}68}{340}=2\pi\cdot\frac{1000\cdot 0{,}68}{340}=2\pi\cdot 2=4\pi\\ \text{rad}.
(ii) f=500\\ \mathrm{Hz}:
\delta=\frac{2\pi\cdot 500\cdot 0{,}68}{340}=2\pi\cdot 1=2\pi\\ \text{rad}.
(iii) f=250\\ \mathrm{Hz}:
\delta=\frac{2\pi\cdot 250\cdot 0{,}68}{340}=2\pi\cdot\frac{250\cdot0{,}68}{340}=2\pi\cdot 0{,}5=\pi\\ \text{rad}.
(iv) f=2000\\ \mathrm{Hz}:
\delta=\frac{2\pi\cdot 2000\cdot 0{,}68}{340}=2\pi\cdot 4=8\pi\\ \text{rad}.
Nota rápida para interpretação: valores como 4\pi,\,2\pi,\,8\pi são múltiplos de 2\pi e, portanto, equivalem a diferença de fase nula modulo 2\pi; isso implica interferência construtiva completa (mesma fase efetiva). Já \delta=\pi dá interferência destrutiva completa.

Passo 5

Agora determinamos a amplitude resultante da soma das duas ondas. Some as pressões:
p_{\text{tot}}(t)=p_{1}+p_{2}=p_{0}\sin\bigl(kx_1-\omega t\bigr)+p_{0}\sin\bigl(kx_2-\omega t\bigr).
Usamos a identidade trigonométrica
\sin A+\sin B=2\sin\!\biggl(\frac{A+B}{2}\biggr)\cos\!\biggl(\frac{A-B}{2}\biggr).
Tomando A=kx_1-\omega t e B=kx_2-\omega t obtemos
p_{\text{tot}}(t)=2p_{0}\sin\!\Bigl(\frac{kx_1+kx_2}{2}-\omega t\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{kx_2-kx_1}{2}\Bigr).
Repare que \frac{kx_2-kx_1}{2}=\frac{\delta}{2}. A função temporal é um seno cuja amplitude (em módulo) é
A_{\text{resultante}}=2p_{0}\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{\delta}{2}\bigr)\bigr|.
Se quisermos manter o sinal (fase de inversão), a amplitude algébrica é 2p_{0}\cos(\delta/2). Na prática, quando perguntam “amplitude” normalmente querem o valor positivo, então usaremos o módulo.
Interpretações rápidas:
  • Se \cos(\delta/2)=\pm 1 (isto é, \delta=0,2\pi,4\pi,\dots) temos amplitude máxima 2p_{0} (construtiva).
  • Se \cos(\delta/2)=0 (isto é, \delta=\pi,3\pi,\dots) temos amplitude zero (destrutiva).

Passo 6

Calculemos agora as amplitudes para cada \delta encontrado:
(i) Para \delta=4\pi temos \delta/2=2\pi e \cos(2\pi)=1. Logo
A=2p_{0}\cdot 1=2p_{0}.
(ii) Para \delta=2\pi temos \delta/2=\pi e \cos(\pi)=-1. A amplitude algébrica é 2p_{0}(-1)=-2p_{0}, mas o módulo (amplitude física) é
A=2p_{0}.
(é interferência construtiva com inversão de fase global entre soma e referência, mas magnitude máxima).
(iii) Para \delta=\pi temos \delta/2=\pi/2 e \cos(\pi/2)=0. Assim
A=0.
(Interferência destrutiva total.)
(iv) Para \delta=8\pi temos \delta/2=4\pi e \cos(4\pi)=1. Logo
A=2p_{0}.

Resposta

a) \displaystyle \delta=k\,(x_2-x_1)=\frac{2\pi f}{v}\,\Delta x.\n
b) (i) \displaystyle \delta=4\pi\\ \text{rad}, (ii) \displaystyle \delta=2\pi\\ \text{rad}, (iii) \displaystyle \delta=\pi\\ \text{rad}, (iv) \displaystyle \delta=8\pi\\ \text{rad}.\n
c) (i) \displaystyle A=2p_{0}, (ii) \displaystyle A=2p_{0} (módulo), (iii) \displaystyle A=0, (iv) \displaystyle A=2p_{0}.

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