Duas ondas harmônicas idênticas viajam em sentidos opostos, formando onda estacionária:
Determine:
a) o número de ventres em um comprimento de 2 m ,
b) a distância entre dois nós consecutivos,
c) a frequência da onda resultante.
a) o número de ventres em um comprimento de 2 m ,
b) a distância entre dois nós consecutivos,
c) a frequência da onda resultante.
Passo 1
O enunciado dá a onda estacionária
Pede:
a) o número de ventres (antinodos) em um comprimento de ;
b) a distância entre dois nós consecutivos;
c) a frequência da onda resultante.
a) o número de ventres (antinodos) em um comprimento de
b) a distância entre dois nós consecutivos;
c) a frequência da onda resultante.
Informações explícitas que temos (vou listar bem direitinho):
com
(metros),
(rad/m) e
(rad/s).
Essas são as únicas informações numéricas do enunciado que precisamos usar.
Essas são as únicas informações numéricas do enunciado que precisamos usar.
Passo 2
Vamos explicar o que significam
e
(aulas curtas, nada de pânico):
-
é o número de onda; relaciona-se com o comprimento de onda pela fórmula
Aqui
tem unidades de radianos por metro. Intuitivamente,
diz quantas “oscilação espacial” cabem por unidade de comprimento.
-
é a pulsação (frequência angular) e se relaciona com a frequência por
A frequência
é o número de oscilações por segundo (em Hz).
tem unidades rad/s.
Eu sempre testo essas definições com a forma padrão da onda dada: comparando
com
obtemos imediatamente
e
.
Passo 3
Calcular o comprimento de onda
usando
.
Começo isolando
:
Substituo
:
Corta
no numerador e denominador:
Portanto
. (Resumo: cada comprimento de onda ocupa
.)
Passo 4
Calcular a frequência
a partir de
.
Isolo
:
Substituo
:
Corto
:
Portanto
. (Isso responde a parte (c).)
Passo 5
Determinar a posição dos nós e a distância entre nós consecutivos (parte b).
Nós ocorrem quando a amplitude espacial é zero, ou seja quando
. Isso acontece para
Isolando
:
Usando
:
Ou seja, os nós estão em
(é isso que veio da expressão). A distância entre dois nós consecutivos é a diferença entre
e
:
Portanto a distância entre nós consecutivos é
. (Resposta da parte b.)
Observação física curta: isso é igual a
, pois para ondas estacionárias nós e ventres alternam a cada semicomprimento de onda.
Passo 6
Determinar o número de ventres (antinodos) em um comprimento de
(parte a).
Antinodos (ventres) ocorrem nos pontos onde
, isto é onde
. Essas posições estão espaçadas também de
entre si (na verdade a distância entre antinodos consecutivos é
). Já calculamos
, então
Para um segmento de comprimento
, o número de ventres que cabem é
Faço a conta:
Logo cabem
ventres em
.
Comentário amigo: imagine marcar um ventre a cada
; contando a partir do começo até
dá 40 posições — por isso esse número.
Passo 7
Resumo final das respostas (já obtidas nos passos acima):
a) número de ventres em :
.
b) distância entre nós consecutivos: .
c) frequência da onda resultante: .
a) número de ventres em
b) distância entre nós consecutivos:
c) frequência da onda resultante:
Resposta
a)
ventres
b)
c)
b)
c)