Duas ondas harmônicas idênticas viajam em sentidos opostos, formando onda estacionária:
y=0,04 \sin (20 \pi x) \cos (200 \pi t)
Determine:
a) o número de ventres em um comprimento de 2 m ,
b) a distância entre dois nós consecutivos,
c) a frequência da onda resultante.

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária
y=0,04 \sin(20\pi x)\cos(200\pi t).
Pede:
a) o número de ventres (antinodos) em um comprimento de 2\\ \mathrm{m};
b) a distância entre dois nós consecutivos;
c) a frequência da onda resultante.
Informações explícitas que temos (vou listar bem direitinho):
y=A\sin(kx)\cos(\omega t)
com A=0,04 (metros), k=20\pi (rad/m) e \omega=200\pi (rad/s).
Essas são as únicas informações numéricas do enunciado que precisamos usar.

Passo 2

Vamos explicar o que significam k e \omega (aulas curtas, nada de pânico):
  • k é o número de onda; relaciona-se com o comprimento de onda \lambda pela fórmula
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Aqui k tem unidades de radianos por metro. Intuitivamente, k diz quantas “oscilação espacial” cabem por unidade de comprimento.
  • \omega é a pulsação (frequência angular) e se relaciona com a frequência f por
\omega=2\pi f.
A frequência f é o número de oscilações por segundo (em Hz). \omega tem unidades rad/s.
Eu sempre testo essas definições com a forma padrão da onda dada: comparando
y=0,04\sin(20\pi x)\cos(200\pi t)
com
y=A\sin(kx)\cos(\omega t),
obtemos imediatamente k=20\pi e \omega=200\pi.

Passo 3

Calcular o comprimento de onda \lambda usando k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Começo isolando \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituo k=20\pi:
\lambda=\frac{2\pi}{20\pi}.
Corta \pi no numerador e denominador:
\lambda=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0,1\\ \mathrm{m}.
Portanto \lambda=0,1\\ \mathrm{m}. (Resumo: cada comprimento de onda ocupa 0,1\\ \mathrm{m}.)

Passo 4

Calcular a frequência f a partir de \omega=2\pi f.
Isolo f:
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituo \omega=200\pi:
f=\frac{200\pi}{2\pi}.
Corto \pi:
f=\frac{200}{2}=100.
Portanto f=100\\ \mathrm{Hz}. (Isso responde a parte (c).)

Passo 5

Determinar a posição dos nós e a distância entre nós consecutivos (parte b).
Nós ocorrem quando a amplitude espacial é zero, ou seja quando \sin(kx)=0. Isso acontece para
kx = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Isolando x:
x_n = \frac{n\pi}{k}.
Usando k=20\pi:
x_n = \frac{n\pi}{20\pi} = \frac{n}{20}\\ \mathrm{m}.
Ou seja, os nós estão em x=0,\\\ 0{,}05,\\\ 0{,}10,\\\ 0{,}15,\\ \ldots (é isso que veio da expressão). A distância entre dois nós consecutivos é a diferença entre x_{n+1} e x_n:
\Delta x = x_{n+1}-x_n = \frac{n+1}{20}-\frac{n}{20}=\frac{1}{20}=0,05\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância entre nós consecutivos é 0,05\\ \mathrm{m}. (Resposta da parte b.)
Observação física curta: isso é igual a \lambda/2, pois para ondas estacionárias nós e ventres alternam a cada semicomprimento de onda.

Passo 6

Determinar o número de ventres (antinodos) em um comprimento de 2\\ \mathrm{m} (parte a).
Antinodos (ventres) ocorrem nos pontos onde |\sin(kx)|=1, isto é onde \sin(kx)=\pm 1. Essas posições estão espaçadas também de \lambda/2 entre si (na verdade a distância entre antinodos consecutivos é \lambda/2). Já calculamos \lambda=0,1\\ \mathrm{m}, então
\text{distância entre ventres}=\frac{\lambda}{2}= \frac{0,1}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.â
Para um segmento de comprimento L=2\\ \mathrm{m}, o número de ventres que cabem é
\text{número de ventres}=\frac{L}{\text{distância entre ventres}}=\frac{2}{0,05}.úâ
Faço a conta:
\frac{2}{0,05}=\frac{2}{5\times 10^{-2}}=2\times\frac{100}{5}=2\times 20=40.
Logo cabem 40 ventres em 2\\ \mathrm{m}.
Comentário amigo: imagine marcar um ventre a cada 0,05\\ \mathrm{m}; contando a partir do começo até 2\\ \mathrm{m} dá 40 posições — por isso esse número.

Passo 7

Resumo final das respostas (já obtidas nos passos acima):
a) número de ventres em 2\\ \mathrm{m}: 40.
b) distância entre nós consecutivos: 0,05\\ \mathrm{m}.
c) frequência da onda resultante: 100\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

a) 40 ventres
b) 0,05\\ \mathrm{m}
c) 100\\ \mathrm{Hz}

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