Uma onda transversal em uma corda é descrita por:
y(x, t)=0,01 \cos (100 \pi t-4 \pi x)
com x e y em metros e t em segundos. Determine:
o sentido da propagação.

Passo 1

O enunciado dá a onda transversal
y(x,t)=0,01\cos\bigl(100\pi t-4\pi x\bigr),
com x e y em metros e t em segundos. A pergunta é: determinar o sentido da propagação da onda.

Passo 2

Vamos identificar os parâmetros dentro do cosseno. Uma forma padrão de onda harmônica unidimensional é
y(x,t)=A\cos\bigl(\omega t - kx + \varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo de y);
  • \omega é a frequência angular (medida em rad/s), que diz quão rápido a fase varia no tempo;
  • k é o número de onda (medido em rad/m), que diz quão rápido a fase varia no espaço;
  • \varphi é uma fase inicial constante.
Comparando com a função dada, identificamos:
A=0,01,\qquad \omega=100\pi,\qquad k=4\pi,\qquad \varphi=0.

Passo 3

Para determinar o sentido de propagação de forma robusta (sem ficar preso ao fato de que o cosseno é função par), usamos a condição de fase constante: pontos de mesma fase se deslocam no tempo segundo
\omega t - kx = \text{const}.
Isolando x em função de t obtemos
kx=\omega t-\text{const}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\omega}{k}\,t - \frac{\text{const}}{k}.
A velocidade com que um ponto de fase constante se move é
v=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente usando os valores identificados:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{100\pi}{4\pi}=25\\ \text{m/s}.
O valor de v é positivo, ou seja, à medida que t aumenta, x aumenta para conservar a fase. Isso significa que os máximos/minimos da onda (os pontos de mesma fase) deslocam-se no sentido de x crescente — isto é, no sentido positivo do eixo x.
Observação curta e útil: se a fase fosse \omega t+ kx em vez de \omega t-kx, o mesmo procedimento daria v=\omega/(-k) e o deslocamento seria para x decrescente (sentido negativo).

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova: pegue a fase do argumento do cosseno, escreva \omega t-kx= const, isole x e veja o sinal de dx/dt=\omega/k. Se dx/dt>0, a onda vai para +x; se dx/dt<0, vai para -x. Aplicando isso aqui deu dx/dt=25>0, logo vai para +x.

Resposta

A onda se propaga no sentido positivo do eixo x (para +x).

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