Duas ondas se propagam na mesma corda, no mesmo sentido:
\begin{aligned} & y_{1}=0,02 \sin (200 \pi t-5 \pi x) \\\ & y_{2}=0,02 \sin \left(200 \pi t-5 \pi x+\frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}
Determine a amplitude resultante da onda formada.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas na mesma corda, propagando-se no mesmo sentido:
y_{1}=0,02\sin(200\pi t-5\pi x)
y_{2}=0,02\sin\!\left(200\pi t-5\pi x+\frac{\pi}{3}\right)
O que nos pedem: determinar a amplitude resultante da onda formada pela soma y=y_{1}+y_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude comum de cada onda: \;A=0,02\\ \text{m}.
  • Argumento comum (parte dependente de t e x): \;\omega t-kx com \omega=200\pi e k=5\pi. (Eu só anotei esses números; não precisaremos manipulá-los além de reconhecer que são iguais nas duas ondas.)
  • Defasagem entre as ondas: \;\varphi=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Princípio que usamos: superposição linear — como as equações são ondas senoidais, a onda total é a soma das duas funções seno. Para somar duas senóides de mesma frequência e número de onda, usamos uma identidade trigonométrica. Vou mostrar essa identidade e explicar cada símbolo.
Identidade trigonométrica útil:
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aqui \alpha e \beta são quaisquer ângulos (podem depender de t e x). A identidade diz que a soma de duas senos pode ser escrita como um senóide com amplitude multiplicada por um cosseno da meia-diferença das fases.

Passo 3

Aplicamos a identidade ao nosso caso. Defina
\alpha=\omega t-kx \qquad\text{e}\qquad \beta=\omega t-kx+\varphi,
com \varphi=\dfrac{\pi}{3}. Então
y=y_{1}+y_{2}=A\sin\alpha + A\sin\beta.
Fatorando A e aplicando a identidade:
y=A\big(\sin\alpha+\sin\beta\big)=A\cdot 2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).

Passo 4

Calculemos as meias-somas e meias-diferenças das fases explicitamente:
\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{(\omega t-kx)+(\omega t-kx+\varphi)}{2}=\omega t-kx+\frac{\varphi}{2},
\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{(\omega t-kx)-(\omega t-kx+\varphi)}{2}=-\frac{\varphi}{2}.
Como \cos é par, \cos\!\left(-\dfrac{\varphi}{2}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right). Assim a expressão vira
y=2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(\omega t-kx+\frac{\varphi}{2}\right).

Passo 5

Interpretação: o resultado é outra onda senoidal que se propaga com a mesma frequência e número de onda, mas com amplitude resultante
A_{\text{res}}=2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right).
Aqui A é a amplitude de cada onda individual e \varphi é a defasagem entre elas. Essa fórmula é geral para duas senóides iguais defasadas.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos: A=0,02 e \varphi=\dfrac{\pi}{3}. Então
A_{\text{res}}=2\cdot 0,02\cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{2}\right) =0,04\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Sabemos que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo,
A_{\text{res}}=0,04\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0,02\sqrt{3}.

Passo 7

Cálculo aproximado para um valor numérico:
\sqrt{3}\approx 1,73205\quad\Rightarrow\quad A_{\text{res}}\approx 0,02\times 1,73205\approx 0,03464\\ \text{m}.

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio prático para prova: ao somar duas ondas senoidais iguais com defasagem \varphi, não precisa desenvolver as funções em t e x — basta usar
A_{\text{res}}=2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),
substituir A e \varphi e simplificar. Isso é rápido e seguro na hora da prova. Força — você consegue!

Resposta

\;A_{\text{res}}=0,02\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 0,03464\\ \text{m}

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