Duas ondas senoidais que se combinam em um meio são descritas pelas funções de onda
y_{1}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x+0,60 t)) \quad y_{2}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x-0,60 t))onde \mathrm{A}=3,0 \mathrm{~cm}, e x está em centímetros e t em segundos. Determine o deslocamento máximo do movimento em
a) x=0,250 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas que se somam. Vou listar claramente os dados e o que é pedido:
  • As funções de onda são
y_{1}(x,t)=A\,\operatorname{sen}\bigl(\pi(x+0,60\,t)\bigr), \qquad y_{2}(x,t)=A\,\operatorname{sen}\bigl(\pi(x-0,60\,t)\bigr).
  • A amplitude é A=3,0\\ \text{cm}.
  • As variáveis: x está em centímetros e t em segundos.
  • O que se pede: determinar o deslocamento máximo do movimento (ou seja, a amplitude resultante no ponto) em x=0,250\\ \text{cm}.

Passo 2

Entender a soma das duas ondas e como extrair a amplitude resultante local.
  • Princípio usado: superposição linear — quando duas ondas coexistem num meio, o deslocamento total é a soma algébrica dos deslocamentos individuais, portanto
y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t).
  • Para somar senos com argumentos diferentes usaremos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(\alpha)+\operatorname{sen}(\beta)=2\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr).
Explicando a identidade: ela transforma a soma de duas funções seno em um produto de seno e cosseno. Isso é útil porque separa uma parte que depende só de x (envelope espacial) e outra que depende só de t (oscilação temporal).
  • Aplique a identidade aos argumentos das ondas. Aqui \alpha=\pi(x+0,60\,t) e \beta=\pi(x-0,60\,t). Então
\begin{aligned} y(x,t) &=A\operatorname{sen}\bigl(\pi(x+0,60\,t)\bigr)+A\operatorname{sen}\bigl(\pi(x-0,60\,t)\bigr)\\[4pt] &=2A\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi(x+0,60\,t)+\pi(x-0,60\,t)}{2}\bigr) \cos\!\bigl(\tfrac{\pi(x+0,60\,t)-\pi(x-0,60\,t)}{2}\bigr). \end{aligned}
  • Calcule as somas e diferenças no argumento:
\tfrac{\pi(x+0,60\,t)+\pi(x-0,60\,t)}{2}=\tfrac{2\pi x}{2}=\pi x,
\tfrac{\pi(x+0,60\,t)-\pi(x-0,60\,t)}{2}=\tfrac{2\pi(0,60\,t)}{2}=\pi(0,60\,t).
  • Portanto a forma final é
y(x,t)=2A\,\operatorname{sen}(\pi x)\,\cos\bigl(\pi(0,60\,t)\bigr).
Interpretação: em cada posição x a oscilação temporal tem amplitude máxima dada por
Y_{\max}(x)=2A\bigl|\operatorname{sen}(\pi x)\bigr|.
Isso porque \cos(\pi(0,60\,t)) varia entre -1 e +1; o valor absoluto do coeficiente multiplicador de \cos é a amplitude máxima em x.]

Passo 3

Aplicar a expressão da amplitude ao ponto pedido x=0,250\\ \text{cm}.
  • Primeiro calcule o argumento da função seno espacial:
\pi x=\pi\cdot 0,250=\pi\cdot \tfrac{1}{4}=\tfrac{\pi}{4}.
  • Conhecimento trigonométrico útil: \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Então a amplitude máxima neste x é
Y_{\max}(0,250)=2A\bigl|\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{4})\bigr| =2A\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=A\sqrt{2}.

Passo 4

Substituir A=3,0\\ \text{cm} e calcular numericamente, deixando também a forma exata.
Y_{\max}(0,250)=3,0\sqrt{2}\\ \text{cm}.
  • Aproximação numérica (sabendo \sqrt{2}\approx1,4142):
Y_{\max}(0,250)\approx 3,0\times 1,4142 \approx 4,2426\\ \text{cm}.
  • Arredondando sensatamente: 4,24\\ \text{cm}.

Resposta

3,0\sqrt{2}\\ \text{cm} \approx 4,24\\ \text{cm}

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