Duas ondas senoidais que se combinam em um meio são descritas pelas funções de onda
y_{1}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x+0,60 t)) \quad y_{2}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x-0,60 t))onde \mathrm{A}=3,0 \mathrm{~cm}, e x está em centímetros e t em segundos. Determine o deslocamento máximo do movimento em
c) \mathrm{x}=1,50 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais que se somam:
y_{1}(x,t)=A\operatorname{sen}\!\bigl(\pi(x+0,60\,t)\bigr),\qquad y_{2}(x,t)=A\operatorname{sen}\!\bigl(\pi(x-0,60\,t)\bigr),
com \,A=3,0\\ \text{cm}. As variáveis são x em centímetros e t em segundos.
A pergunta específica é: determinar o deslocamento máximo do movimento em \,x=1,50\\ \text{cm}.

Passo 2

Vamos somar as duas ondas usando a identidade trigonométrica para soma de senos. Defino as fases
\alpha=\pi(x+0,60\,t),\qquad \beta=\pi(x-0,60\,t).
A identidade é
\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aplicando essa identidade às ondas:
y(x,t)=y_1+y_2 = A\bigl(\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta\bigr) =2A\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).

Passo 3

Calculo os meios das fases:
\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\pi(x+0,60t)+\pi(x-0,60t)}{2}=\frac{2\pi x}{2}=\pi x,
\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\pi(x+0,60t)-\pi(x-0,60t)}{2}=\frac{2\pi\cdot0,60t}{2}=0,60\pi t.
Portanto a soma fica na forma de onda estacionária
y(x,t)=2A\,\operatorname{sen}(\pi x)\cos(0,60\pi t).
Aqui é importante entender: para cada posição x a amplitude máxima (em função do tempo) é o coeficiente à frente do cosseno em módulo. Ou seja, o deslocamento máximo em (x) ao longo do tempo é
Y_{\max}(x)=2A\bigl|\operatorname{sen}(\pi x)\bigr|.
Explicando de leve: \cos(0,60\pi t) varia entre -1 e 1; multiplicando por 2A\operatorname{sen}(\pi x) o maior valor absoluto que y pode atingir, ao longo do tempo, é esse 2A|\sin(\pi x)|.

Passo 4

Agora substituo x=1,50\\ \text{cm}. Primeiro avalio \operatorname{sen}(\pi x):
\pi x=\pi\cdot 1,50=1,50\pi=\frac{3\pi}{2}.
Na circunferência trigonométrica sabe-se que
\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1.
Logo \bigl|\operatorname{sen}(\pi\cdot 1,50)\bigr|=1.

Passo 5

Use a fórmula do Passo 3 com A=3,0\\ \text{cm}:
Y_{\max}(1,50)=2\cdot A\cdot 1=2\cdot 3,0\\ \text{cm}=6,0\\ \text{cm}.

Resposta

6,0 cm

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