Não vou ainda resolver nada; apenas organizei o que sabemos e o que é pedido.
Passo 2
Entender qual é o operador que representa a energia cinética em mecânica quântica: classically K=\dfrac{p^{2}}{2m}. Na quantização canônica, o momento linear p vira o operador
\hat{p}=-i\hbar\frac{d}{dx},
porque esse operador age corretamente sobre ondas planas \exp(ikx): \hat{p}e^{ikx}=-i\hbar\frac{d}{dx}e^{ikx}=\hbar k\,e^{ikx}, e \hbar k é o valor de momento associado. Logo, o operador energia cinética é
Aqui explicando cada símbolo: \hbar é a constante de Planck reduzida, m a massa da partícula, \frac{d}{dx} a derivada em relação a x. Esse \hat{K} é um operador diferencial de segunda ordem que age sobre a função de onda.
Passo 3
Aplicar a definição de valor médio de operador ao operador \hat{K}. Pela regra geral,
Pronto — isso já mostra a forma formal do valor médio da energia cinética a partir da identificação do operador cinético, que por sua vez vem da equação de Schrödinger e da quantização do momento.
Passo 4
Para conectar mais diretamente com a equação de Schrödinger (como o enunciado pediu “a partir da equação de Schrödinger”), faço um passo alternativo e útil: reescrever a equação como
Se \psi está normalizada, o lado direito é E-\langle V\rangle, isto é
\langle K\rangle=E-\langle V\rangle.
Isso mostra de maneira prática que o integral com -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} realmente representa a energia cinética média e que a energia total média E se divide em cinética mais potencial média.
Passo 5
Dar uma forma alternativa, frequentemente usada em exercícios, que deixa claro que \langle K\rangle é real e não-negativo: integrar por partes o integral da expressão original. Começando de
o que evidencia que \langle K\rangle é real e \ge 0. Esse resultado é equivalente à expressão original, só que em forma mais explícita e prática para cálculos sem derivadas de segunda ordem.
Resposta
\langle K\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}\right] d x