A partir da equação de Schrödinger mostre que o o valor médio da energia cinética de uma partícula é dado por:
\langle K\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^{*}(x)\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}\right] d x

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, a partir da equação de Schrödinger, o valor médio (expectation value) da energia cinética de uma partícula é
\langle K\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^{*}(x)\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}\right] d x.
Informações e hipóteses que vou usar (tudo que vem do enunciado e do contexto padrão):
  • A função de onda estacionária \psi(x) satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
  • A função de onda está normalizada, isto é,
\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=1,
ou, se não estiver normalizada, os mesmos passos valem com a normalização adequada (dividindo pelo norm).
  • Vou usar a definição de valor médio (expectation value) de um operador \hat{O} numa dada \psi:
\langle O\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\,\hat{O}\,\psi(x)\,dx.
Não vou ainda resolver nada; apenas organizei o que sabemos e o que é pedido.

Passo 2

Entender qual é o operador que representa a energia cinética em mecânica quântica: classically K=\dfrac{p^{2}}{2m}. Na quantização canônica, o momento linear p vira o operador
\hat{p}=-i\hbar\frac{d}{dx},
porque esse operador age corretamente sobre ondas planas \exp(ikx): \hat{p}e^{ikx}=-i\hbar\frac{d}{dx}e^{ikx}=\hbar k\,e^{ikx}, e \hbar k é o valor de momento associado. Logo, o operador energia cinética é
\hat{K}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)^{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
Aqui explicando cada símbolo: \hbar é a constante de Planck reduzida, m a massa da partícula, \frac{d}{dx} a derivada em relação a x. Esse \hat{K} é um operador diferencial de segunda ordem que age sobre a função de onda.

Passo 3

Aplicar a definição de valor médio de operador ao operador \hat{K}. Pela regra geral,
\langle K\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\,\hat{K}\,\psi(x)\,dx.
Substituindo \hat{K}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}} obtemos exatamente a expressão pedida:
\langle K\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}\right]dx.
Pronto — isso já mostra a forma formal do valor médio da energia cinética a partir da identificação do operador cinético, que por sua vez vem da equação de Schrödinger e da quantização do momento.

Passo 4

Para conectar mais diretamente com a equação de Schrödinger (como o enunciado pediu “a partir da equação de Schrödinger”), faço um passo alternativo e útil: reescrever a equação como
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=(E-V(x))\psi.
Multiplicando à esquerda por \psi^{*} e integrando por x obtemos
\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}\right]dx =\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\big(E-V(x)\big)\psi(x)\,dx.
Se \psi está normalizada, o lado direito é E-\langle V\rangle, isto é
\langle K\rangle=E-\langle V\rangle.
Isso mostra de maneira prática que o integral com -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} realmente representa a energia cinética média e que a energia total média E se divide em cinética mais potencial média.

Passo 5

Dar uma forma alternativa, frequentemente usada em exercícios, que deixa claro que \langle K\rangle é real e não-negativo: integrar por partes o integral da expressão original. Começando de
\langle K\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''\right)dx,
fazendo integração por partes (tomando u=\psi^{*}, dv=\psi''dx) obtemos
\langle K\rangle=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\Big[\psi^{*}\psi'\Big]_{-\infty}^{+\infty}+\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi'^{*}\psi'\,dx.
Para funções de onda físicas que se anulam em infinito (condição usual: \psi(\pm\infty)=0), o termo de fronteira é zero e sobra
\langle K\rangle=\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{d\psi}{dx}\right|^{2}dx,
o que evidencia que \langle K\rangle é real e \ge 0. Esse resultado é equivalente à expressão original, só que em forma mais explícita e prática para cálculos sem derivadas de segunda ordem.

Resposta

\langle K\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}\right] d x

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