No instante t=0, o deslocamento x(0) do bloco em um oscilador linear do tipo corpo-mola é 8,50 \mathrm{~cm}. A velocidade do bloco neste instante é v(0)=-0,920 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e sua aceleração é a(0)=47,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine (a) a frequência angular, (b) a constante de fase e (c) a amplitude da oscilação.

Passo 1

O que o enunciado pede:
(a) a frequência angular,
(b) a constante de fase,
(c) a amplitude da oscilação.
Dados fornecidos:
x(0)=8{,}50\\ \mathrm{cm},\qquad v(0)=-0{,}920\\ \mathrm{m/s},\qquad a(0)=47{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação importante (vou ser direto e honesto): para um oscilador linear massa-mola em movimento harmônico simples existe a relação
a(0)=-\omega^{2}x(0).
Com os números dados isso seria -\omega^{2}\cdot 0{,}085=47{,}0, o que dá \omega^{2}=-552{,}94, impossível (negativo). Ou seja, o sinal da aceleração divulgado no enunciado parece estar trocado. Vou assumir que o autor quis dizer
a(0)=-47{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}
(ou seja, o valor absoluto 47{,}0 com sinal negativo). Se você souber que o sinal estava mesmo positivo, a questão não é fisicamente consistente e não há solução real. A partir da suposição acima eu prossigo com a resolução.

Passo 2

Escolhemos a forma padrão da solução do movimento harmônico simples:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Explicando cada símbolo:
  • A é a amplitude (máxima magnitude do deslocamento), em metros;
  • \omega é a frequência angular, em rad/s;
  • \varphi é a constante de fase (fase inicial), em radianos;
  • t é o tempo, em s.
Derivando para obter velocidade e aceleração:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).

Passo 3

Avaliamos as expressões em t=0. Chamando x_{0}=x(0), v_{0}=v(0), a_{0}=a(0), obtemos:
x_{0}=A\cos\varphi,
v_{0}=-A\omega\sin\varphi,
a_{0}=-A\omega^{2}\cos\varphi.
Uma consequência útil (elimine A\cos\varphi) é
a_{0}=-\omega^{2}x_{0}.
Usaremos essa relação para determinar \omega.
Convertemos x_{0} para metros:
x_{0}=8{,}50\\ \mathrm{cm}=0{,}0850\\ \mathrm{m}.
E adotamos, conforme a observação do Passo 1,
a_{0}=-47{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Da relação \;a_{0}=-\omega^{2}x_{0}\; isolamos \omega:
\omega^{2}=-\frac{a_{0}}{x_{0}},
\omega=\sqrt{-\frac{a_{0}}{x_{0}}}.
Substituindo os valores:
\omega=\sqrt{-\frac{-47{,}0}{0{,}0850}}=\sqrt{\frac{47{,}0}{0{,}0850}}=\sqrt{552{,}941176\dots}.
Calculando:
\omega\approx 23{,}52\\ \mathrm{rad/s}.
Breve comentário didático: essa fórmula vem do fato de que a aceleração em MHS é sempre proporcional e de sinal oposto ao deslocamento; a constante de proporcionalidade é \omega^{2}.

Passo 5

Uma forma conveniente de achar A sem precisar primeiro achar \varphi é usar que
A^{2}=x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}.
Derivação curta dessa identidade: a partir de x_{0}=A\cos\varphi e v_{0}=-A\omega\sin\varphi temos
x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}=A^{2}(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)=A^{2}.
Agora substituímos numericamente ( v_{0}=-0{,}920\\ \mathrm{m/s}, \omega do Passo 4):
A=\sqrt{(0{,}0850)^{2}+\left(\frac{-0{,}920}{23{,}52}\right)^{2}}.
Calculemos passo a passo:
(0{,}0850)^{2}=0{,}007225,
\left(\frac{-0{,}920}{23{,}52}\right)^{2}\approx( -0{,}03912)^{2}=0{,}001530,
A^{2}\approx 0{,}007225+0{,}001530=0{,}008755,
A\approx\sqrt{0{,}008755}=0{,}09361\\ \mathrm{m}.
Em centímetros:
A\approx 9{,}36\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Usamos as relações iniciais
\cos\varphi=\frac{x_{0}}{A},\qquad \sin\varphi=-\frac{v_{0}}{A\omega}.
Uma forma prática é usar a tangente:
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}}.
Substituindo valores:
\tan\varphi=-\frac{-0{,}920}{23{,}52\cdot 0{,}0850}=\frac{0{,}920}{1{,}999}=0{,}4602\ldots
Logo
\varphi=\arctan(0{,}4602\ldots)\approx 0{,}4325\\ \mathrm{rad}.
Verificação de quadrante (muito importante): calculamos \cos\varphi=x_{0}/A\approx 0{,}0850/0{,}09361\approx 0{,}9078>0 e \sin\varphi\approx -v_{0}/(A\omega)>0. Assim \cos\varphi>0 e \sin\varphi>0 \varphi está no primeiro quadrante, então o valor de \arctan obtido é o correto (nenhuma adição de \pi necessária). Em graus isso é aproximadamente 24{,}8^\circ.

Passo 7

Podemos verificar rapidamente que com esses valores:
x(0)=A\cos\varphi\approx 0{,}09361\cdot\cos(0{,}4325)\approx 0{,}0850\\ \mathrm{m},
a(0)=-\omega^{2}x(0)\approx - (23{,}52)^{2}\cdot 0{,}0850\approx -47{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}},
o que confirma consistência com a assunção a(0)=-47{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) \omega=23{,}52\\ \mathrm{rad/s}
(b) \varphi=0{,}4325\\ \mathrm{rad} (\approx 24{,}8^\circ)
(c) A=0{,}09361\\ \mathrm{m}=9{,}36\\ \mathrm{cm}

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