No instante
, o deslocamento
do bloco em um oscilador linear do tipo corpo-mola é
. A velocidade do bloco neste instante é
, e sua aceleração é
. Determine (a) a frequência angular, (b) a constante de fase e (c) a amplitude da oscilação.
Passo 1
O que o enunciado pede:
(a) a frequência angular,
(b) a constante de fase,
(c) a amplitude da oscilação.
(a) a frequência angular,
(b) a constante de fase,
(c) a amplitude da oscilação.
Dados fornecidos:
Observação importante (vou ser direto e honesto): para um oscilador linear massa-mola em movimento harmônico simples existe a relação
Com os números dados isso seria
, o que dá
, impossível (negativo). Ou seja, o sinal da aceleração divulgado no enunciado parece estar trocado. Vou assumir que o autor quis dizer
(ou seja, o valor absoluto
com sinal negativo). Se você souber que o sinal estava mesmo positivo, a questão não é fisicamente consistente e não há solução real. A partir da suposição acima eu prossigo com a resolução.
Passo 2
Escolhemos a forma padrão da solução do movimento harmônico simples:
Explicando cada símbolo:
-
é a amplitude (máxima magnitude do deslocamento), em metros; -
é a frequência angular, em rad/s; -
é a constante de fase (fase inicial), em radianos; -
é o tempo, em s.
Derivando para obter velocidade e aceleração:
Passo 3
Avaliamos as expressões em
. Chamando
,
,
, obtemos:
Uma consequência útil (elimine
) é
Usaremos essa relação para determinar
.
Convertemos
para metros:
E adotamos, conforme a observação do Passo 1,
Passo 4
Da relação
isolamos
:
Substituindo os valores:
Calculando:
Breve comentário didático: essa fórmula vem do fato de que a aceleração em MHS é sempre proporcional e de sinal oposto ao deslocamento; a constante de proporcionalidade é
.
Passo 5
Uma forma conveniente de achar
sem precisar primeiro achar
é usar que
Derivação curta dessa identidade: a partir de
e
temos
Agora substituímos numericamente (
,
do Passo 4):
Calculemos passo a passo:
Em centímetros:
Passo 6
Usamos as relações iniciais
Uma forma prática é usar a tangente:
Substituindo valores:
Logo
Verificação de quadrante (muito importante): calculamos
e
. Assim
e
→
está no primeiro quadrante, então o valor de
obtido é o correto (nenhuma adição de
necessária). Em graus isso é aproximadamente
.
Passo 7
Podemos verificar rapidamente que com esses valores:
o que confirma consistência com a assunção
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)