Duas ondas senoidais idênticas, se propagando num mesmo sentido em um meio homogêneo, interferem-se uma na outra. Sendo a amplitude de cada onda igual a 30 cm , determine a diferença de fase em rad e em comprimentos de onda que dará a onda, uma amplitude resultante de 20 cm .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir.
  • Dois sinais senoidais idênticos, propagando-se no mesmo sentido, interferem um com o outro.
  • A amplitude de cada onda é \;A=30\\ \text{cm}.
  • A amplitude resultante observada é \;A_r=20\\ \text{cm}.
Pede-se: determinar a diferença de fase que produz essa amplitude resultante, expressa em radianos e também em comprimentos de onda (isto é, como fração de \lambda).

Passo 2

Vamos escrever as duas ondas e somá-las; daí vem a fórmula prática para a amplitude resultante. Suponha as duas ondas no mesmo ponto espacial, com forma temporal
y_1(t)=A\cos(\omega t)
y_2(t)=A\cos(\omega t+\Delta\varphi)
onde:
  • \;A é a amplitude de cada onda (aqui \;30\\ \text{cm}),
  • \;\omega é a frequência angular (não precisamos do valor),
  • \;\Delta\varphi é a diferença de fase entre as ondas (é o que queremos achar),
  • \;t é o tempo.
Somando as duas ondas usamos a identidade trigonométrica
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\!\bigg(\frac{\alpha+\beta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\alpha-\beta}{2}\bigg).
Aplicando com \alpha=\omega t e \beta=\omega t+\Delta\varphi obtemos
y(t)=y_1+y_2=2A\cos\!\bigg(\frac{\Delta\varphi}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\omega t+\frac{\Delta\varphi}{2}\bigg).
Dessa expressão vemos que a amplitude resultante (o fator multiplicando o \cos que depende de t) é
\boxed{A_r = 2A\left|\cos\!\bigg(\frac{\Delta\varphi}{2}\bigg)\right|.}
Expliquei o valor absoluto porque a amplitude é sempre positiva; \cos pode ser negativo, mas a amplitude observada fica com sinal positivo.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos na relação encontrada. Temos \;A=30\\ \text{cm} e \;A_r=20\\ \text{cm}, então
2A\left|\cos\!\bigg(\frac{\Delta\varphi}{2}\bigg)\right| = A_r
\left|\cos\!\bigg(\frac{\Delta\varphi}{2}\bigg)\right| = \frac{A_r}{2A} = \frac{20}{2\cdot 30} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Resolver \left|\cos\!\big(\frac{\Delta\varphi}{2}\big)\right|=\tfrac{1}{3}. Isso significa que
\cos\!\bigg(\frac{\Delta\varphi}{2}\bigg)=\pm\frac{1}{3}.
Tomando primeiro a solução com sinal positivo (a forma mais direta e o menor valor positivo de \Delta\varphi que interessa num problema típico), temos
\frac{\Delta\varphi}{2} = \operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{1}{3}\bigg).
Portanto
\Delta\varphi = 2\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{1}{3}\bigg).
Calculemos o valor numérico (aproximação útil em prova, normalmente com calculadora): \operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{3}\big)\approx 1,230959417\\ \text{rad}. Logo
\Delta\varphi \approx 2\cdot 1,230959417 = 2,461918834\\ \text{rad}.
Arredondando para quatro casas decimais (prática comum),
\Delta\varphi \approx 2,4619\\ \text{rad}.

Passo 5

Converter a diferença de fase em fração de comprimento de onda. A relação entre diferença de fase e diferença de caminho \Delta x (em unidades de \lambda) é
\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}.
Portanto a diferença em comprimentos de onda é
\frac{\Delta x}{\lambda} = \frac{\Delta\varphi}{2\pi}.
Para o valor \Delta\varphi\approx 2,461918834 obtemos
\frac{\Delta x}{\lambda} \approx \frac{2,461918834}{2\pi} \approx 0,3926990817.
Arredondando,
\frac{\Delta x}{\lambda} \approx 0,3927\\ \text{(fração de }\lambda\text{)}.çã

Passo 6

Observação sobre soluções múltiplas (importante na hora da prova): como usamos valor absoluto, outra solução no intervalo [0,2\pi) que dá a mesma amplitude é
\Delta\varphi' = 2\pi - \Delta\varphi \approx 2\pi - 2,461918834 \approx 3,821266473\\ \text{rad},
que corresponde a
\frac{\Delta x'}{\lambda} = 1 - 0,3926990817 \approx 0,6073.
Em suma: há duas diferenças de fase distintas no intervalo [0,2\pi) que produzem a mesma amplitude resultante de 20\\ \text{cm}; normalmente se reporta a menor ( \approx 2,4619\\ \text{rad} ) mas a outra também é válida.

Resposta

\Delta\varphi = 2\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{3}\big) \approx 2,4619\\ \text{rad} \longrightarrow \dfrac{\Delta x}{\lambda} = \dfrac{\Delta\varphi}{2\pi} \approx 0,3927
\Delta\varphi = 2\pi - 2\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{3}\big) \approx 3,8213\\ \text{rad} \longrightarrow \dfrac{\Delta x}{\lambda} \approx 0,6073

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