Um projétil é disparado verticalmente com uma velocidade inicial de 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a altitude máxima h alcançada pelo projétil e o tempo t após o disparo para que ele retorne ao chão. Despreze a resistência do ar e adote uma aceleração da gravidade de 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (Resposta \mathrm{h}=2040 \mathrm{~m} ; \mathrm{t}=40,8 \mathrm{~s} )

Passo 1

O enunciado diz: um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial \;u=200\;\mathrm{m/s}.\nDados fornecidos: aceleração da gravidade \;g=9,81\;\mathrm{m/s^{2}} (usar sentido para baixo) e desprezar resistência do ar.\nPerguntas: calcular (1) a altitude máxima \;h alcançada pelo projétil e (2) o tempo total \;t após o disparo até ele retornar ao chão.

Passo 2

Definimos convenções e equações importantes (aqui explico o porquê delas): escolhemos o eixo vertical positivo para cima. Como a gravidade aponta para baixo, a aceleração é \;a=-g.\nVariáveis:
\;u — velocidade inicial (para cima);\n \;v — velocidade em um tempo qualquer;\n \;t — tempo;\n \;s — deslocamento vertical a partir do ponto de lançamento (a altitude máxima será um valor de s).\nAs fórmulas do movimento com aceleração constante que usaremos são:\n v = u + a\,t\n s = u\,t + \tfrac{1}{2} a\,t^{2}\n v^{2} = u^{2} + 2 a\,s\nExpliquei: a primeira dá a velocidade a qualquer tempo; a segunda dá o deslocamento; a terceira relaciona velocidades e deslocamento sem usar tempo. Todas são derivadas da definição de aceleração constante e das integrais dessa aceleração.

Passo 3

Tempo até o ponto mais alto: no topo a velocidade instantânea é zero, ou seja \;v=0.\nUsamos a equação v = u + a\,t. Substituindo v=0 e a=-g obtemos:
0 = u - g\,t_{\text{up}}
Isolando t_{\text{up}}:
t_{\text{up}} = \frac{u}{g}
Agora substituímos numericamente \;u=200 e \;g=9,81:
t_{\text{up}} = \frac{200}{9,81} \approx 20,387\ldots\\ \mathrm{s}
(ou arredondando razoavelmente: \;t_{\text{up}}\approx 20,4\\ \mathrm{s}).
Explicação prática: esse é o tempo que leva para a velocidade diminuir de 200\\ \mathrm{m/s} a zero sob desaceleração constante de 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Tempo total de voo até retornar ao chão: sem resistência do ar o movimento é simétrico — o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Portanto
t = 2\,t_{\text{up}} = \frac{2u}{g}.
Substituindo valores:
t = \frac{2\cdot 200}{9,81} = \frac{400}{9,81} \approx 40,775\ldots\\ \mathrm{s}
Arredondando para uma casa decimal como no enunciado:
t \approx 40,8\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Altitude máxima h: podemos usar a equação que não envolve tempo:
v^{2} = u^{2} + 2 a\,s.
No topo v=0 e a=-g, então
0 = u^{2} - 2 g\,h.
Isolando h:
h = \frac{u^{2}}{2g}.
Substituindo numericamente \;u=200 e \;g=9,81:
h = \frac{200^{2}}{2\cdot 9,81} = \frac{40000}{19,62} \approx 2038,76\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando em duas ou três figuras significativas (para coincidir com a resposta dada) obtemos
h \approx 2040\\ \mathrm{m}.
Comentário: a fórmula mostra que a altura cresce com o quadrado da velocidade inicial — duplicar u quadruplica h.

Passo 6

Resumo rápido para lembrar na prova: tempo até o topo \;t_{\text{up}}=u/g, tempo total \;t=2u/g; altura máxima \;h=u^{2}/(2g). Use o sinal negativo para a quando tomar para cima como positivo, ou simplesmente substitua a=-g nas fórmulas.

Resposta

\;h=2040\\ \mathrm{m}\n \;t=40,8\\ \mathrm{s}

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