Uma partícula movendo-se ao longo do eixo s possui uma velocidade dada por \mathrm{v}=18-2 \mathrm{t}^{2} \mathrm{ft} / \mathrm{s}, onde t está em segundos. Quando \mathrm{t}=0, a posição da partícula é dada por \mathrm{s}_{0}=-3 \mathrm{ft}. Para os cinco primeiros segundos de movimento, determine a distância total percorrida D , o deslocamento resultante \Delta \mathrm{s} e o valor de s no fim do intervalo.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A velocidade da partícula é v(t)=18-2t^{2} em unidades de \mathrm{ft}/\mathrm{s}, com t em segundos.
  • A posição inicial é s(0)=s_{0}=-3\\ \mathrm{ft}.
  • Queremos, no intervalo de tempo 0\le t\le 5: a distância total percorrida D, o deslocamento resultante \Delta s e o valor de s ao fim do intervalo (ou seja, s(5)).

Passo 2

Entendendo o que pediram (teoria básica, bem mastigada):
  • O deslocamento resultante \Delta s é a variação da posição ao longo do intervalo e é dado pela integral da velocidade:
\Delta s=\int_{0}^{5} v(t)\,dt.
Aqui v(t) é a velocidade (positiva indica movimento no sentido positivo de s, negativa no sentido oposto).
  • A posição final é
s(5)=s(0)+\Delta s.
  • A distância total percorrida D é a integral da velocidade escalar (speed), ou seja, a integral do valor absoluto da velocidade:
D=\int_{0}^{5} |v(t)|\,dt.
Para calcular D normalmente precisamos achar quando v(t) muda de sinal no intervalo e dividir a integral nesses pontos.

Passo 3

Calcular \Delta s=\int_{0}^{5} (18-2t^{2})\,dt.
Primeiro encontramos uma antiderivada de v(t). Lembrando as regras básicas:
  • A antiderivada de 18 em relação a t é 18t (porque \frac{d}{dt}(18t)=18).
  • A antiderivada de t^{2} é \tfrac{1}{3}t^{3} (porque \frac{d}{dt}(\tfrac{1}{3}t^{3})=t^{2}).
    Portanto, uma antiderivada de 18-2t^{2} é
F(t)=18t-\frac{2}{3}t^{3}.
Agora avaliamos a integral definida:
\Delta s = F(5)-F(0)=\left(18\cdot 5-\frac{2}{3}\cdot 5^{3}\right)-0.

Passo 4

Calculemos os números passo a passo:
18\cdot 5=90,
5^{3}=125,\quad \frac{2}{3}\cdot 125=\frac{250}{3}.
Então
\Delta s = 90-\frac{250}{3}=\frac{270-250}{3}=\frac{20}{3}\\ \mathrm{ft}.
Logo o deslocamento resultante é \Delta s=\tfrac{20}{3}\\ \mathrm{ft} (aprox. 6,666 ft).

Passo 5

Calcular s(5) usando s(5)=s(0)+\Delta s:
s(5)=-3+\frac{20}{3}=\frac{-9+20}{3}=\frac{11}{3}\\ \mathrm{ft}.
Portanto s(5)=\tfrac{11}{3}\\ \mathrm{ft} (aprox. 3,666 ft).

Passo 6

Agora vamos achar a distância total D=\int_{0}^{5}|v(t)|\,dt.
Primeiro determinamos onde v(t) muda de sinal resolvendo v(t)=0:
18-2t^{2}=0 \implies 2t^{2}=18 \implies t^{2}=9 \implies t= \pm 3.
No intervalo considerado t\in[0,5] o ponto relevante é t=3.
Analisando o sinal:
  • Para 0\le t<3, t^{2}<9 então v(t)=18-2t^{2}>0.
  • Para t>3 (até 5), t^{2}>9 então v(t)<0.
    Logo devemos separar a integral em [0,3] e [3,5] e tomar o valor absoluto em cada parte:
D=\int_{0}^{3} v(t)\,dt+\int_{3}^{5} -v(t)\,dt.

Passo 7

Calcule a primeira parte \int_{0}^{3} v(t)\,dt usando a mesma antiderivada F(t)=18t-\tfrac{2}{3}t^{3}:
\int_{0}^{3} v(t)\,dt = F(3)-F(0)=\left(18\cdot 3-\frac{2}{3}\cdot 3^{3}\right)-0.
Calculemos:
18\cdot 3=54,\quad 3^{3}=27,\quad \frac{2}{3}\cdot 27=18,
logo
\int_{0}^{3} v(t)\,dt =54-18=36\\ \mathrm{ft}.
Isso também corresponde à mudança de posição de s(0)=-3 até s(3); de fato mais adiante podemos confirmar s(3)=-3+36=33\\ \mathrm{ft}.

Passo 8

Calcule a segunda parte \int_{3}^{5} -v(t)\,dt=\int_{3}^{5} (2t^{2}-18)\,dt.
Uma antiderivada de 2t^{2}-18 é
G(t)=\frac{2}{3}t^{3}-18t.
Avalie de 3 a 5:
\int_{3}^{5} (2t^{2}-18)\,dt = G(5)-G(3).
Calculemos:
G(5)=\frac{2}{3}\cdot 125-18\cdot 5=\frac{250}{3}-90=\frac{250-270}{3}=-\frac{20}{3},
G(3)=\frac{2}{3}\cdot 27-18\cdot 3=18-54=-36.
Portanto
\int_{3}^{5} (2t^{2}-18)\,dt = -\frac{20}{3}-(-36)= -\frac{20}{3}+36=\frac{-20+108}{3}=\frac{88}{3}\\ \mathrm{ft}.
Observação para conferência: isto é a magnitude do deslocamento de s(3)=33\\ \mathrm{ft} até s(5)=\tfrac{11}{3}\\ \mathrm{ft}, cujo valor absoluto é \left|33-\tfrac{11}{3}\right|=\tfrac{88}{3}\\ \mathrm{ft}.

Passo 9

Somando as duas partes para obter a distância total:
D=36+\frac{88}{3}=\frac{108+88}{3}=\frac{196}{3}\\ \mathrm{ft}.
Em forma decimal aproximada D\approx 65,333\\ \mathrm{ft}.

Resposta

D=\dfrac{196}{3}\\ \mathrm{ft}
\Delta s=\dfrac{20}{3}\\ \mathrm{ft}
s(5)=\dfrac{11}{3}\\ \mathrm{ft}

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