Uma partícula movendo-se ao longo do eixo s possui uma velocidade dada por \mathrm{v}=18-2 \mathrm{t}^{2} \mathrm{ft} / \mathrm{s}, onde t está em segundos. Quando \mathrm{t}=0, a posição da partícula é dada por \mathrm{s}_{0}=-3 \mathrm{ft}. Para os cinco primeiros segundos de movimento, determine a distância total percorrida D , o deslocamento resultante \Delta \mathrm{s} e o valor de s no fim do intervalo.
Passo 1
O enunciado fornece:
A velocidade da partícula é v(t)=18-2t^{2} em unidades de \mathrm{ft}/\mathrm{s}, com t em segundos.
A posição inicial é s(0)=s_{0}=-3\\ \mathrm{ft}.
Queremos, no intervalo de tempo 0\le t\le 5: a distância total percorrida D, o deslocamento resultante \Delta s e o valor de s ao fim do intervalo (ou seja, s(5)).
Passo 2
Entendendo o que pediram (teoria básica, bem mastigada):
O deslocamento resultante \Delta s é a variação da posição ao longo do intervalo e é dado pela integral da velocidade:
\Delta s=\int_{0}^{5} v(t)\,dt.
Aqui v(t) é a velocidade (positiva indica movimento no sentido positivo de s, negativa no sentido oposto).
A posição final é
s(5)=s(0)+\Delta s.
A distância total percorrida D é a integral da velocidade escalar (speed), ou seja, a integral do valor absoluto da velocidade:
D=\int_{0}^{5} |v(t)|\,dt.
Para calcular D normalmente precisamos achar quando v(t) muda de sinal no intervalo e dividir a integral nesses pontos.
Passo 3
Calcular \Delta s=\int_{0}^{5} (18-2t^{2})\,dt.
Primeiro encontramos uma antiderivada de v(t). Lembrando as regras básicas:
A antiderivada de 18 em relação a t é 18t (porque \frac{d}{dt}(18t)=18).
A antiderivada de t^{2} é \tfrac{1}{3}t^{3} (porque \frac{d}{dt}(\tfrac{1}{3}t^{3})=t^{2}).
Portanto, uma antiderivada de 18-2t^{2} é
F(t)=18t-\frac{2}{3}t^{3}.
Agora avaliamos a integral definida:
\Delta s = F(5)-F(0)=\left(18\cdot 5-\frac{2}{3}\cdot 5^{3}\right)-0.
Observação para conferência: isto é a magnitude do deslocamento de s(3)=33\\ \mathrm{ft} até s(5)=\tfrac{11}{3}\\ \mathrm{ft}, cujo valor absoluto é \left|33-\tfrac{11}{3}\right|=\tfrac{88}{3}\\ \mathrm{ft}.
Passo 9
Somando as duas partes para obter a distância total: