Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no mesmo sentido em uma corda, interferem entre si. A amplitude das ondas incidentes é 10 mm e a diferença de fase entre elas é 90^{\circ}, sendo que a onda 2 se encontra adiantada e a fase da onda 1 é nula. A onda resultante se propaga com velocidade de 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e frequência 2 Hz no sentido negativo do eixo x.
a) Determine o comprimento de onda das ondas incidentes.
b) Escreva a equação de cada uma das ondas incidentes.
c) Escreva a equação da onda resultante.
\footnotetext{
RESPOSTA: (a) 5 \mathrm{~cm} \quad (b) y_{1}(x, t)=0,01 \operatorname{sen}(40 \pi x+4 \pi t) e y_{2}(x, t)=0,01 \operatorname{sen}\left(40 \pi x+4 \pi t+\frac{\pi}{2}\right).
(c) y_{R}(x, t)=0,01 \sqrt{2} \operatorname{sen}\left(40 \pi x+4 \pi t+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • A amplitude de cada onda incidente é 10\\ \mathrm{mm}.
  • A diferença de fase entre as ondas é 90^\circ, com a onda 2 adiantada e a fase da onda 1 nula.
  • A onda resultante se propaga no sentido negativo do eixo x com velocidade 10\\ \mathrm{cm/s}.
  • A frequência é 2\\ \mathrm{Hz}.
O enunciado pede:
(a) determinar o comprimento de onda \lambda das ondas incidentes;
(b) escrever a equação de cada uma das ondas incidentes y_1(x,t) e y_2(x,t);
(c) escrever a equação da onda resultante y_R(x,t).

Passo 2

Converto unidades e calculo as quantidades básicas (frequência angular, número de onda) necessárias para achar \lambda.
Primeiro converto amplitude e velocidade para metros:
A=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}, \qquad v=10\\ \mathrm{cm/s}=0,10\\ \mathrm{m/s}.
A frequência dada é f=2\\ \mathrm{Hz}. A frequência angular \omega é
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 2=4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Para ondas senoidais a relação entre \omega, o número de onda k e a velocidade v é
v=\frac{\omega}{k}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\omega}{v}.
Substituindo \omega e v:
k=\frac{4\pi}{0,10}=40\pi\\ \mathrm{rad/m}.
O comprimento de onda \lambda relaciona-se com k por
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Logo
\lambda=\frac{2\pi}{40\pi}=\frac{1}{20}=0,05\\ \mathrm{m}=5\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Explico a forma geral da equação de uma onda harmônica que se propaga no sentido negativo de x.
A forma geral (para uma onda senoidal de amplitude A, número de onda k, frequência angular \omega e fase inicial \varphi) é
y(x,t)=A\sin(kx\pm\omega t+\varphi).
O sinal -\omega t corresponde a onda viajando no sentido positivo de x (onda do tipo \sin(kx-\omega t)); o sinal +\omega t corresponde a onda viajando no sentido negativo de x (onda do tipo \sin(kx+\omega t)). Aqui o enunciado diz que a propagação é no sentido negativo de x, então usaremos kx+\omega t no argumento.
Também preciso converter a diferença de fase de 90^\circ para radianos:
90^\circ=\frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.

Passo 4

Escrevo as equações das ondas incidentes usando os valores numéricos que já calculei.
Temos A=0,01\\ \mathrm{m}, k=40\pi\\ \mathrm{rad/m} e \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}. A fase da onda 1 é nula ( \varphi_1=0) e a onda 2 está adiantada por \Delta\varphi=\frac{\pi}{2}, logo \varphi_2=\frac{\pi}{2}.
Portanto
y_1(x,t)=0,01\sin\big(40\pi x+4\pi t\big),
y_2(x,t)=0,01\sin\!\Big(40\pi x+4\pi t+\frac{\pi}{2}\Big).
(Aqui x está em metros e t em segundos.)

Passo 5

Faço a soma das duas ondas para obter a onda resultante e simplifico usando identidade trigonométrica.
Defino \theta=40\pi x+4\pi t. Então
y_R=y_1+y_2=0,01\sin\theta+0,01\sin\!\Big(\theta+\frac{\pi}{2}\Big).
Uso a identidade
\sin a+\sin b=2\sin\!\Big(\frac{a+b}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{a-b}{2}\Big).
Aplicando com a=\theta e b=\theta+\frac{\pi}{2}:
y_R=0,01\cdot 2\sin\!\Big(\theta+\frac{\pi}{4}\Big)\cos\!\Big(-\frac{\pi}{4}\Big).
Sabendo que \cos(-\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
y_R=0,02\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\!\Big(\theta+\frac{\pi}{4}\Big)=0,01\sqrt{2}\sin\!\Big(40\pi x+4\pi t+\frac{\pi}{4}\Big).
Observações físicas rápidas (úteis na prova): a frequência e a velocidade da resultante continuam iguais às das ondas incidentes; apenas a amplitude e a fase mudam pela interferência. Aqui a amplitude resultante é 0,01\sqrt{2}\\ \mathrm{m} e há um avanço de fase de \pi/4 em relação à onda 1.

Resposta

(a) 5\\ \mathrm{cm}
(b) y_{1}(x,t)=0,01\sin\big(40\pi x+4\pi t\big)
y_{2}(x,t)=0,01\sin\!\Big(40\pi x+4\pi t+\dfrac{\pi}{2}\Big)
(c) y_{R}(x,t)=0,01\sqrt{2}\sin\!\Big(40\pi x+4\pi t+\dfrac{\pi}{4}\Big)

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