Uma corda tem uma massa específica \mu=500 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e uma tensão de 72 N . Uma onda senoidal de frequência f=120 \mathrm{~Hz} e amplitude 8,5 \mathrm{~mm} é produzida na corda e se propaga no sentido positivo do eixo x.
a) Determine a velocidade de propagação da onda.
b) Escreva a equação da onda.
c) Determine a taxa média com a qual a onda transporta energia.
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
massa específica da corda: \mu=500\\ \mathrm{g/m}.
tensão na corda: T=72\\ \mathrm{N}.
frequência da onda: f=120\\ \mathrm{Hz}.
amplitude da onda: A=8,5\\ \mathrm{mm}.
a onda é senoidal e se propaga no sentido positivo de x.
O que o enunciado pede:
(a) determinar a velocidade de propagação da onda;
(b) escrever a equação da onda y(x,t);
(c) determinar a taxa média com a qual a onda transporta energia (potência média).
Passo 2
Primeiro coloque as unidades no sistema SI e explique a fórmula para a velocidade.
Converter \mu para \mathrm{kg/m}: \mu=500\\ \mathrm{g/m}=0,500\\ \mathrm{kg/m}.
Converter a amplitude para metros: A=8,5\\ \mathrm{mm}=0,0085\\ \mathrm{m}.
A velocidade de uma onda transversal numa corda tensa é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (em newtons) e \mu é a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}). Essa fórmula vem de equilibrar as forças na corda para pequenas oscilações; basicamente corda mais tensa (maior T) faz a onda ir mais rápido, e corda mais “pesada” (maior \mu) faz a onda ir mais devagar.
Portanto a velocidade de propagação é 12\\ \mathrm{m/s}.
Passo 4
Agora encontramos os parâmetros de fase da onda: pulsação \omega e número de onda k.
A pulsação está relacionada com a frequência por
\omega=2\pi f.
Assim
\omega=2\pi\cdot120=240\pi\\ \mathrm{rad/s}.
O número de onda k é dado por
k=\dfrac{\omega}{v}.
Portanto
k=\dfrac{240\pi}{12}=20\pi\\ \mathrm{rad/m}.
Passo 5
Escrevendo a equação da onda:
A forma padrão de uma onda harmônica que se propaga no sentido positivo de x é
y(x,t)=A\,\operatorname{sen}(kx-\omega t),
onde A é a amplitude, k é o número de onda e \omega é a pulsação. O sinal (kx-\omega t) indica que os cristas se deslocam para valores maiores de x à medida que t aumenta (propagação no sentido positivo).
Agora a potência média transportada pela onda. Primeiro a ideia física:
Cada porção da corda oscila para cima e para baixo; a tensão transmite energia ao longo da corda. A potência instantânea que atravessa uma seção em x pode ser escrita (para pequenas oscilações) como
Aqui \partial y/\partial x é a inclinação local da corda, \partial y/\partial t é a velocidade transverse local, e o produto vezes -T dá a taxa instantânea de trabalho (potência) transmitida pela tensão. Para uma onda senoidal essa potência média não depende de x e, ao fazer a média temporal sobre um período T_{\text{per}}, obtém-se a potência média transportada pela onda.
Passo 7
Calcule \partial y/\partial x e \partial y/\partial t e a potência média.
Derivadas da solução y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t):