Uma corda tem uma massa específica \mu=500 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e uma tensão de 72 N . Uma onda senoidal de frequência f=120 \mathrm{~Hz} e amplitude 8,5 \mathrm{~mm} é produzida na corda e se propaga no sentido positivo do eixo x.
a) Determine a velocidade de propagação da onda.
b) Escreva a equação da onda.
c) Determine a taxa média com a qual a onda transporta energia.
RESPOSTA: (a) 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \quad (b) y(x, t)=0,0085 \operatorname{sen}(20 \pi x-240 \pi t). (c) 123 W

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • massa específica da corda: \mu=500\\ \mathrm{g/m}.
    • tensão na corda: T=72\\ \mathrm{N}.
    • frequência da onda: f=120\\ \mathrm{Hz}.
    • amplitude da onda: A=8,5\\ \mathrm{mm}.
    • a onda é senoidal e se propaga no sentido positivo de x.
  • O que o enunciado pede:
    (a) determinar a velocidade de propagação da onda;
    (b) escrever a equação da onda y(x,t);
    (c) determinar a taxa média com a qual a onda transporta energia (potência média).

Passo 2

Primeiro coloque as unidades no sistema SI e explique a fórmula para a velocidade.
  • Converter \mu para \mathrm{kg/m}: \mu=500\\ \mathrm{g/m}=0,500\\ \mathrm{kg/m}.
  • Converter a amplitude para metros: A=8,5\\ \mathrm{mm}=0,0085\\ \mathrm{m}.
A velocidade de uma onda transversal numa corda tensa é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (em newtons) e \mu é a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}). Essa fórmula vem de equilibrar as forças na corda para pequenas oscilações; basicamente corda mais tensa (maior T) faz a onda ir mais rápido, e corda mais “pesada” (maior \mu) faz a onda ir mais devagar.

Passo 3

Calcule numericamente v.
v=\sqrt{\dfrac{72}{0,500}}=\sqrt{144}=12\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade de propagação é 12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora encontramos os parâmetros de fase da onda: pulsação \omega e número de onda k.
  • A pulsação está relacionada com a frequência por
\omega=2\pi f.
Assim
\omega=2\pi\cdot120=240\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • O número de onda k é dado por
k=\dfrac{\omega}{v}.
Portanto
k=\dfrac{240\pi}{12}=20\pi\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Escrevendo a equação da onda:
A forma padrão de uma onda harmônica que se propaga no sentido positivo de x é
y(x,t)=A\,\operatorname{sen}(kx-\omega t),
onde A é a amplitude, k é o número de onda e \omega é a pulsação. O sinal (kx-\omega t) indica que os cristas se deslocam para valores maiores de x à medida que t aumenta (propagação no sentido positivo).
Substituindo os valores:
y(x,t)=0,0085\,\operatorname{sen}(20\pi x-240\pi t).

Passo 6

Agora a potência média transportada pela onda. Primeiro a ideia física:
Cada porção da corda oscila para cima e para baixo; a tensão transmite energia ao longo da corda. A potência instantânea que atravessa uma seção em x pode ser escrita (para pequenas oscilações) como
P(x,t) = -T\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)\!\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right).
Aqui \partial y/\partial x é a inclinação local da corda, \partial y/\partial t é a velocidade transverse local, e o produto vezes -T dá a taxa instantânea de trabalho (potência) transmitida pela tensão. Para uma onda senoidal essa potência média não depende de x e, ao fazer a média temporal sobre um período T_{\text{per}}, obtém-se a potência média transportada pela onda.

Passo 7

Calcule \partial y/\partial x e \partial y/\partial t e a potência média.
  • Derivadas da solução y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t):
\dfrac{\partial y}{\partial x}=Ak\operatorname{cos}(kx-\omega t), \qquad \dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\operatorname{cos}(kx-\omega t).
  • Produto:
\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)\!\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)=Ak(-A\omega)\operatorname{cos}^2(kx-\omega t) = -A^2 k\omega \operatorname{cos}^2(kx-\omega t).
  • Substituindo em P(x,t):
P(x,t) = -T\left(-A^2 k\omega \operatorname{cos}^2(kx-\omega t)\right)=T A^2 k\omega \operatorname{cos}^2(kx-\omega t).
  • A potência média sobre um período é a média temporal de \operatorname{cos}^2, que é 1/2. Assim
\overline{P} = T A^2 k\omega \cdot \dfrac{1}{2}.

Passo 8

Simplificar usando a relação entre T, \mu e v:
Para ondas na corda vale v=\sqrt{T/\mu}, então T=\mu v^2. Além disso k=\omega/v. Substituindo em \overline{P}:
\overline{P} = \dfrac{1}{2} (\mu v^2) A^2 \left(\dfrac{\omega}{v}\right)\omega = \dfrac{1}{2}\mu A^2 \omega^2 v.
Esse é um resultado clássico: a potência média transportada por uma onda harmônica numa corda é
\overline{P}=\dfrac{1}{2}\mu \omega^2 A^2 v,
onde \mu é massa por comprimento, \omega a pulsação, A a amplitude e v a velocidade de propagação.

Passo 9

Agora calcule numericamente \overline{P} com os valores que temos.
  • Valores:
    • \mu=0,500\\ \mathrm{kg/m}.
    • \omega=240\pi\\ \mathrm{rad/s}.
    • A=0,0085\\ \mathrm{m}.
    • v=12\\ \mathrm{m/s}.
Substituindo:
\overline{P}=\dfrac{1}{2}\cdot 0,500\cdot (240\pi)^2\cdot (0,0085)^2\cdot 12.
Calcule passo a passo (aproximações numéricas):
(240\pi)^2 = 57600\pi^2, \qquad (0,0085)^2=0,00007225.
0,5\cdot 57600\pi^2 \cdot 0,00007225 \approx 2,082\pi^2 \approx 2,082\cdot 9,8696 \approx 20,544.
\overline{P} = 20,544\cdot 12 \cdot \dfrac{1}{1\\ (já\\ foi\\ contado\\ o\\\ 1/2)} \approx 246,528/2 \text{ [corrigindo etapa]}.á
(A explicação numérica direta:) usando a fórmula direta:
\overline{P}=\dfrac{1}{2}\cdot 0,500\cdot (240\pi)^2\cdot 0,00007225\cdot 12 \approx 123,3\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável, a potência média transportada pela onda é \approx123\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) 12\\ \mathrm{m/s}
(b) y(x,t)=0,0085\,\operatorname{sen}(20\pi x-240\pi t)
(c) 123\\ \mathrm{W}

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