Uma onda que se propaga em uma corda esticada de 1,0 m de comprimento e 50 g de massa é descrita pela equação: y(x, t)=0,03 \operatorname{sen}(10 \pi x+100 \pi t), com x e y dado em [m], e o tempo t em [s].
a) Determine a amplitude, o número de onda e a frequência angular.
b) Determine o comprimento de onda e a frequência.
c) Determine a velocidade e o sentido de propagação da onda.
d) Determine a tensão na qual a corda está submetida.
e) Qual é a posição do ponto da corda de coordenada x=15 \mathrm{~cm} no tempo t=2 \mathrm{~ms}.
f) Qual é a velocidade do elemento da corda de coordenada x=50 \mathrm{~cm} no tempo t=5 \mathrm{~ms}.
g) Qual é a aceleração do elemento da corda de coordenada x=75 c m no tempo inicial.
RESPOSTA: (a) y_{m}=3 \mathrm{~cm} ; k=10 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{m} ; \omega=100 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}. (b) \lambda=20 \mathrm{~cm} ; f=50 \mathrm{~Hz}. (c) v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; sentido contrário ao referencial.
(d) T=5 N.
(e) y=-2,4 \mathrm{~cm}
(f) u=0.
(g) a=2961 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a onda transversal numa corda de comprimento 1,0\\ \text{m} e massa 50\\ \text{g} pela equação
y(x,t)=0,03\operatorname{sen}\bigl(10\pi x+100\pi t\bigr),
onde x e y estão em metros e t em segundos. As perguntas são:
(a) determinar a amplitude, o número de onda e a frequência angular;
(b) determinar o comprimento de onda e a frequência;
(c) determinar a velocidade e o sentido de propagação;
(d) determinar a tensão T na corda;
(e) calcular y para x=15\\ \text{cm} e t=2\\ \text{ms};
(f) calcular a velocidade transverse do elemento com x=50\\ \text{cm} em t=5\\ \text{ms};
(g) calcular a aceleração do elemento com x=75\\ \text{cm} no tempo inicial ( t=0).
Dados numéricos destacados: comprimento L=1{,}0\\ \text{m}, massa m=50\\ \text{g}=0{,}05\\ \text{kg}. A equação da onda fornece diretamente alguns parâmetros (veja o argumento do seno).

Passo 2

Entendendo a forma padrão e identificando amplitude, número de onda e frequência angular.
  • Forma geral de uma onda harmônica é \;y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx\pm\omega t+\varphi)\;, onde:
    • A é a amplitude (deslocamento máximo);
    • k é o número de onda (unidade \text{rad}/\text{m}) e relaciona-se com o comprimento de onda por \lambda=\dfrac{2\pi}{k};
    • \omega é a frequência angular (unidade \text{rad}/\text{s}) e relaciona-se com a frequência comum por f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • Na equação dada \;y(x,t)=0,03\operatorname{sen}(10\pi x+100\pi t)\; reconhecemos:
    • A=0{,}03\\ \text{m},
    • k=10\pi\\ \text{rad}/\text{m},
    • \omega=100\pi\\ \text{rad}/\text{s}.
(Expliquei o significado de cada símbolo para você poder aplicar direto na prova.)

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda \lambda e da frequência f.
  • Fórmulas usadas: \lambda=\frac{2\pi}{k},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Substituindo k=10\pi e \omega=100\pi: \lambda=\frac{2\pi}{10\pi}=0{,}2\\ \text{m}=20\\ \text{cm}, \qquad f=\frac{100\pi}{2\pi}=50\\ \text{Hz}.

Passo 4

Cálculo da velocidade de propagação v e determinação do sentido.
  • Fórmula para a velocidade de fase de uma onda harmônica: v=\frac{\omega}{k}.
  • Substituindo: v=\frac{100\pi}{10\pi}=10\\ \text{m/s}.
  • Sobre o sentido: a forma \operatorname{sen}(kx-\omega t) representa onda que vai no sentido positivo de x; a forma \operatorname{sen}(kx+\omega t) representa onda que se propaga no sentido negativo de x. Aqui o sinal é +\omega t, então a onda se propaga no sentido contrário ao referencial (no sentido negativo de x).
    Explicação rápida: fase constante implica kx+\omega t= const \Rightarrow x=-\dfrac{\omega}{k}t+const, isto é, a posição da fase diminui com t.

Passo 5

Cálculo da tensão T na corda usando a relação entre velocidade de onda e tensão.
  • Primeiro calcular a densidade linear de massa \mu: \mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}05\\ \text{kg}}{1{,}0\\ \text{m}}=0{,}05\\ \text{kg}/\text{m}.
  • Relação entre velocidade da onda, tensão e densidade linear: v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad\Longrightarrow\quad T=\mu v^2.
  • Substituindo \mu=0{,}05\\ \text{kg}/\text{m} e v=10\\ \text{m/s}: T=0{,}05\times(10)^2=0{,}05\times100=5\\ \text{N}.

Passo 6

Cálculo do deslocamento em x=15\\ \text{cm}=0{,}15\\ \text{m} e t=2\\ \text{ms}=0{,}002\\ \text{s}.
  • Substituir na expressão: \theta=10\pi x+100\pi t=10\pi(0{,}15)+100\pi(0{,}002)=1{,}5\pi+0{,}2\pi=1{,}7\pi.
  • Usar identidade trigonométrica: \operatorname{sen}(1{,}7\pi)=\operatorname{sen}(\pi+0{,}7\pi)=-\operatorname{sen}(0{,}7\pi).E \operatorname{sen}(0{,}7\pi)=\operatorname{sen}(126^\circ)\approx0{,}809016.
  • Portanto y=0{,}03\cdot\operatorname{sen}(1{,}7\pi)=0{,}03\cdot(-0{,}809016)\approx-0{,}02427\\ \text{m}=-2{,}427\\ \text{cm}\approx-2{,}4\\ \text{cm}.

Passo 7

Cálculo da velocidade transverse do elemento em x=50\\ \text{cm}=0{,}5\\ \text{m} no tempo t=5\\ \text{ms}=0{,}005\\ \text{s}.
  • A velocidade transverse é a derivada parcial temporal: u(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=A\omega\cos(kx+\omega t).(Derivação: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta)\dfrac{d\theta}{dt} e \dfrac{d\theta}{dt}=\omega.)
  • Calcular o argumento: \theta=10\pi(0{,}5)+100\pi(0{,}005)=5\pi+0{,}5\pi=5{,}5\pi.
  • Avaliar \cos(5{,}5\pi)=\cos\bigl(\tfrac{11\pi}{2}\bigr)=0.
  • Logo u(0{,}5,0{,}005)=0{,}03\times(100\pi)\times 0 = 0\\ \text{m/s}.

Passo 8

Cálculo da aceleração do elemento em x=75\\ \text{cm}=0{,}75\\ \text{m} no tempo inicial t=0.
  • A aceleração transverse é a segunda derivada temporal: a(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\omega^2\operatorname{sen}(kx+\omega t).
  • Em t=0, com x=0{,}75\\ \text{m}: \theta=kx+ \omega t =10\pi(0{,}75)+0=7{,}5\pi.
  • Avaliar \operatorname{sen}(7{,}5\pi)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{15\pi}{2}\bigr). Usando identidades obtem-se \operatorname{sen}(7{,}5\pi)=-1.
  • Então a=-A\omega^2\cdot(-1)=A\omega^2=0{,}03\times(100\pi)^2.
  • Calcule numérico: (100\pi)^2=10000\pi^2\approx10000\times9{,}8696\approx98696{,}04, multiplicando por 0{,}03 \approx2960{,}88\\ \text{m/s}^2, arredondando 2961\\ \text{m/s}^2.

Resposta

(a) y_{m}=3\\ \text{cm} ;\\ k=10\pi\\ \text{rad}/\text{m} ;\\ \omega=100\pi\\ \text{rad}/\text{s}.
(b) \lambda=20\\ \text{cm} ;\\ f=50\\ \text{Hz}.
(c) v=10\\ \text{m}/\text{s}; sentido contrário ao referencial.
(d) T=5\\ \text{N}.
(e) y=-2{,}4\\ \text{cm}.
(f) u=0\\ \text{m}/\text{s}.
(g) a=2961\\ \text{m}/\text{s}^{2}.

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