Uma onda que se propaga em uma corda esticada de
de comprimento e
de massa é descrita pela equação:
, com
e
dado em
, e o tempo t em
.
a) Determine a amplitude, o número de onda e a frequência angular.
b) Determine o comprimento de onda e a frequência.
c) Determine a velocidade e o sentido de propagação da onda.
d) Determine a tensão na qual a corda está submetida.
e) Qual é a posição do ponto da corda de coordenada
no tempo
.
f) Qual é a velocidade do elemento da corda de coordenada
no tempo
.
g) Qual é a aceleração do elemento da corda de coordenada
no tempo inicial.
RESPOSTA: (a)
. (b)
. (c)
; sentido contrário ao referencial.
(d)
.
(e)
(f)
.
(g)
.
a) Determine a amplitude, o número de onda e a frequência angular.
b) Determine o comprimento de onda e a frequência.
c) Determine a velocidade e o sentido de propagação da onda.
d) Determine a tensão na qual a corda está submetida.
e) Qual é a posição do ponto da corda de coordenada
f) Qual é a velocidade do elemento da corda de coordenada
g) Qual é a aceleração do elemento da corda de coordenada
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado nos dá a onda transversal numa corda de comprimento
e massa
pela equação
onde
e
estão em metros e
em segundos. As perguntas são:
(a) determinar a amplitude, o número de onda e a frequência angular;
(b) determinar o comprimento de onda e a frequência;
(c) determinar a velocidade e o sentido de propagação;
(d) determinar a tensão na corda;
(e) calcular para
e
;
(f) calcular a velocidade transverse do elemento com em
;
(g) calcular a aceleração do elemento com no tempo inicial (
).
Dados numéricos destacados: comprimento , massa
. A equação da onda fornece diretamente alguns parâmetros (veja o argumento do seno).
(a) determinar a amplitude, o número de onda e a frequência angular;
(b) determinar o comprimento de onda e a frequência;
(c) determinar a velocidade e o sentido de propagação;
(d) determinar a tensão
(e) calcular
(f) calcular a velocidade transverse do elemento com
(g) calcular a aceleração do elemento com
Dados numéricos destacados: comprimento
Passo 2
Entendendo a forma padrão e identificando amplitude, número de onda e frequência angular.
- Forma geral de uma onda harmônica é
, onde: -
é a amplitude (deslocamento máximo); -
é o número de onda (unidade ) e relaciona-se com o comprimento de onda por ; -
é a frequência angular (unidade ) e relaciona-se com a frequência comum por .
-
- Na equação dada
reconhecemos: -
, -
, -
.
-
(Expliquei o significado de cada símbolo para você poder aplicar direto na prova.)
Passo 3
Cálculo do comprimento de onda
e da frequência
.
- Fórmulas usadas:
- Substituindo
e :
Passo 4
Cálculo da velocidade de propagação
e determinação do sentido.
- Fórmula para a velocidade de fase de uma onda harmônica:
- Substituindo:
- Sobre o sentido: a forma
representa onda que vai no sentido positivo de ; a forma representa onda que se propaga no sentido negativo de . Aqui o sinal é , então a onda se propaga no sentido contrário ao referencial (no sentido negativo de ).
Explicação rápida: fase constante implicaconst const, isto é, a posição da fase diminui com .
Passo 5
Cálculo da tensão
na corda usando a relação entre velocidade de onda e tensão.
- Primeiro calcular a densidade linear de massa
: - Relação entre velocidade da onda, tensão e densidade linear:
- Substituindo
e :
Passo 6
Cálculo do deslocamento em
e
.
- Substituir na expressão:
- Usar identidade trigonométrica:
E . - Portanto
Passo 7
Cálculo da velocidade transverse do elemento em
no tempo
.
- A velocidade transverse é a derivada parcial temporal:
(Derivação: e .) - Calcular o argumento:
- Avaliar
. - Logo
Passo 8
Cálculo da aceleração do elemento em
no tempo inicial
.
- A aceleração transverse é a segunda derivada temporal:
- Em
, com : - Avaliar
. Usando identidades obtem-se . - Então
- Calcule numérico:
, multiplicando por dá , arredondando .
Resposta
(a)
(b)
(c) ; sentido contrário ao referencial.
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)