Duas ondas senoidais propagam-se ao longo da mesma corda. Elas possuem o mesmo comprimento de onda e frequência. Suas amplitudes são ym 1=2,5 mm e ym 2=4,5 mm, e suas fases são pi / 4 rad e pi / 2 rad, respectivamente. Quais são a amplitude e fase da onda resultante?
Escolha uma opção:
a. 6,5 mm, 1,3 rad
b. 7,0 mm, 1,3 rad
c. 5,1 mm, 0,51 rad
d. 5,1 mm, 0,79 rad
e. não é possível resolver sem a informação do comprimento de onda

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que duas ondas senoidais com mesmo λ e mesma frequência viajam pela mesma corda. As amplitudes são
A1 = 2,5 mm, A2 = 4,5 mm e as fases iniciais são phi1 = pi/4 e phi2 = pi/2.
O conteúdo é soma de ondas (interferência), que a gente resolve somando fasores: cada onda vira um vetor com módulo = amplitude e ângulo = fase.
Pra resolver vamos precisar:
  1. A fórmula do módulo do fasor resultante
  2. A fórmula da fase resultante

Passo 2

Primeiro a amplitude resultante A. Se você tem duas ondas
y1 = A1sin(omega t + phi1), y2 = A2sin(omega t + phi2),
a amplitude do somatório é dada por
A^2 = A1^2 + A2^2 + 2,A1,A2cos(phi2 - phi1)
Aqui De<aphi = phi2-phi1 = tfracpi2 - tfracpi4 = tfracpi4. Então
A^2 = (2,5)^2 + (4,5)^2 + 2cdot2,5cdot4,5cos!l(tfracpi4r)
Calculemos:
(2,5)^2 = 6,25, (4,5)^2 = 20,25, 2cdot2,5cdot4,5 = 22,5, cos!l(tfracpi4r)=tfracraiz22approx0,707
Logo
A^2 = 6,25 + 20,25 + 22,5times0,707 approx 6,25 + 20,25 + 15,91 = 42,41,
e
A = raiz42,41approx6,51 mm

Passo 3

Agora a fase phi do fasor resultante. A fórmula é
tanphi =A1sinphi1 + A2sinphi2 A1cosphi1 + A2cosphi2
Calculemos numerador e denominador:
A1sinphi1 = 2,5sin!l(tfracpi4r) = 2,5times0,707 = 1,77,
A2sinphi2 = 4,5sin!l(tfracpi2r) = 4,5times1 = 4,5,
A1cosphi1 = 2,5cos!l(tfracpi4r) = 2,5times0,707 = 1,77, A2cosphi2 = 4,5cos!l(tfracpi2r) = 4,5times0 = 0
Então
tanphi = 1,77 + 4,51,77 + 0 = 6,271,77 approx3,54 Longrightarrow phi = arctan(3,54)approx1,29 rad

Resposta

Amplitude Aapprox6,5 mm e fase phiapprox1,3 rad.
Isso corresponde à alternativa a.

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