Duas ondas senoidais
e
têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no mesmo sentido em uma corda. As amplitudes são
e
e as constantes de fase são 0 e
, respectivamente. Quais são a amplitude
e a constante de fase
da onda resultante? Escreva a onda resultante na forma da Eq. 16-57.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas ondas senoidais que estão viajando na mesma direção numa corda, com o mesmo comprimento de onda. As amplitudes são 4,0 mm e 3,0 mm, e as fases iniciais são 0 e
radianos, respectivamente. Queremos descobrir qual será a amplitude e a fase da onda resultante quando essas duas se somam. Além disso, precisamos escrever essa onda resultante na forma da Eq. 16-57.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que quando duas ondas se propagam na mesma direção e têm o mesmo comprimento de onda, a onda resultante é a soma das duas ondas individuais. Isso é conhecido como superposição de ondas. A equação geral de uma onda senoidal é:
onde:
- $ y_m $ é a amplitude,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 3
No nosso caso, as duas ondas são:
A primeira onda tem fase inicial 0, e a segunda tem fase inicial
radianos.
Passo 4
Para encontrar a onda resultante $ y_{res}(x, t) $, somamos as duas ondas:
Queremos expressar essa soma na forma:
onde $ y’_m $ é a amplitude resultante e $ \beta $ é a nova fase.
Passo 5
Para somar as ondas com diferentes amplitudes e fases, usamos as fórmulas de adição de cossenos:
onde $ \Delta \phi $ é a diferença de fase entre as duas ondas. No nosso caso, $ \Delta \phi = \frac{\pi}{3} $.
Passo 6
Vamos calcular $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $:
Passo 7
Substituindo esses valores nas equações anteriores:
Passo 8
Agora, para encontrar $ y’_m $, usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 9
Para encontrar $ \beta $, usamos a função tangente:
Convertendo para radianos:
Resposta
A amplitude da onda resultante é aproximadamente $ y’_m = 6,08 $ mm e a constante de fase é $ \beta \approx 0,436 $ rad. A onda resultante pode ser escrita como: