Duas ondas senoidais y1(x, t) e y2(x, t) têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no mesmo sentido em uma corda. As amplitudes são ym 1=4,0 mm e ym 2=3,0 mm e as constantes de fase são 0 e pi / 3 rad, respectivamente. Quais são a amplitude ym^prime e a constante de fase beta da onda resultante? Escreva a onda resultante na forma da Eq. 16-57.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas ondas senoidais que estão viajando na mesma direção numa corda, com o mesmo comprimento de onda. As amplitudes são 4,0 mm e 3,0 mm, e as fases iniciais são 0 e pi/3 radianos, respectivamente. Queremos descobrir qual será a amplitude e a fase da onda resultante quando essas duas se somam. Além disso, precisamos escrever essa onda resultante na forma da Eq. 16-57.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que quando duas ondas se propagam na mesma direção e têm o mesmo comprimento de onda, a onda resultante é a soma das duas ondas individuais. Isso é conhecido como superposição de ondas. A equação geral de uma onda senoidal é:
y(x, t) = ym cos(kx - omega t + phi)
onde:
  • $ y_m $ é a amplitude,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 3

No nosso caso, as duas ondas são:
y1(x, t) = 4,0 ,mm cdot cos(kx - omega t)
y2(x, t) = 3,0 ,mm cdot cos(kx - omega t + pi3)
A primeira onda tem fase inicial 0, e a segunda tem fase inicial pi/3 radianos.

Passo 4

Para encontrar a onda resultante $ y_{res}(x, t) $, somamos as duas ondas:
yres(x, t)
Queremos expressar essa soma na forma:
yres(x, t) = y1 + y2
onde $ y’_m $ é a amplitude resultante e $ \beta $ é a nova fase.

Passo 5

Para somar as ondas com diferentes amplitudes e fases, usamos as fórmulas de adição de cossenos:
y'm cos beta = ym1 + ym2 cos De
y'm sin beta = ym2 sin De
onde $ \Delta \phi $ é a diferença de fase entre as duas ondas. No nosso caso, $ \Delta \phi = \frac{\pi}{3} $.

Passo 6

Vamos calcular $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $:
cos(pi3)
sin(pi3)

Passo 7

Substituindo esses valores nas equações anteriores:
y'm cos beta = 4,0 ,mm + 3,0 ,mm cdot 12 = 4,0 ,mm + 1,5 ,mm = 5,5 ,mm
y'm sin beta = 3,0 ,mm cdot raiz32 approx 3,0 ,mm cdot 0,8660 approx 2,598 ,mm

Passo 8

Agora, para encontrar $ y’_m $, usamos o teorema de Pitágoras:
y'm
y'm = raiz(y'm cos beta)^2 + (y'm sin beta)^2
y'm = raiz5,5^2 + 2,598^2
y'm = raiz30,25 + 6,75
y'm = raiz37,0

Passo 9

Para encontrar $ \beta $, usamos a função tangente:
beta
tan beta = y'm sin betay'm cos beta = 2,5985,5 approx 0,472
Convertendo para radianos:
beta = arctan(0,472) approx 25^circ

Resposta

A amplitude da onda resultante é aproximadamente $ y’_m = 6,08 $ mm e a constante de fase é $ \beta \approx 0,436 $ rad. A onda resultante pode ser escrita como:
y'm = 6,08

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