Um dos avanços na compreensão de como a Terra é constituída deu-se com a obtenção do valor de sua densidade, sendo o primeiro valor obtido por Henry Cavendish, no século XIV. Considerando a Terra como uma esfera de raio médio 6.300 Km, qual o valor aproximado da densidade de nosso planeta?
Dados: g=10 m / s^2, G=6,6 times 10^-11 Nm^2 / Kg^2 e pi=3
a) 5,9 times 10^6 Kg / m^3
b) 5,9 times 10^3 Kg / m^3
c) 5,9 times 10^24 Kg / m^3
d) 5,9 times 10^circ Kg / m^3

Passo 1

Beleza, temos que achar a densidade média da Terra, ou seja, ρ = massa/volume. A ideia é:
  • Usar a gravidade na superfície (g) e a Lei da Gravitação Universal (G) para calcular a massa da Terra.
  • Calcular o volume de uma esfera de raio R.
  • Juntar tudo pra achar ρ.
    Matéria envolvida: Mecânica gravitacional e geometria de esfera. Vamos precisar de:
    g = 10 m/s², G = 6,6×10⁻¹¹ Nm²/kg², R = 6.300 km = 6,3×10⁶ m e a fórmula do volume de esfera com π=3.

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei da Gravitação Universal aplicada à superfície:
g = G,MR^2
Aqui g é a aceleração da gravidade na superfície, M é a massa da Terra e R é o raio. Isso vem de igualar F = G M m/R² com F = m g.

Passo 3

Isolando M nessa expressão:
M = g,R^2G
Isso significa: massa da Terra em função de g, R e G.

Passo 4

Agora a densidade:
rho = MV e V = 43,pi,R^3
Substituindo M e V:
rho = g,R^2G43,pi,R^3 = g,R^2G times 34pi,R^3 = 3,g4,pi,G,R

Passo 5

Bora botar os números (tudo em unidades SI):
R = 6,3×10⁶ m, g = 10 m/s², G = 6,6×10⁻¹¹, π = 3.
rho = 3times104times3times6,6times10^-11times6,3times10^6
Calculando o denominador:
4·3 = 12,
12·6,6 = 79,2,
79,2·6,3 ≈ 498,96 → mas tem o fator 10{-11+6}=10{-5}, então dá 498,96×10{-5}≈4,99×10{-3}.
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rho ≈ 304,99times10^-3 ≈ 6,0times10^3;kg/m^3

Resposta

A densidade aproximada é 5,9×10^3 kg/m^3, alternativa (b).

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