Um dos avanços na compreensão de como a Terra é constituída deu-se com a obtenção do valor de sua densidade, sendo o primeiro valor obtido por Henry Cavendish, no século XIV. Considerando a Terra como uma esfera de raio médio 6.300 Km, qual o valor aproximado da densidade de nosso planeta?
Dados:
e
a)
b)
c)
d)
Dados:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, temos que achar a densidade média da Terra, ou seja, ρ = massa/volume. A ideia é:
- Usar a gravidade na superfície (g) e a Lei da Gravitação Universal (G) para calcular a massa da Terra.
- Calcular o volume de uma esfera de raio R.
- Juntar tudo pra achar ρ.
Matéria envolvida: Mecânica gravitacional e geometria de esfera. Vamos precisar de:
g = 10 m/s², G = 6,6×10⁻¹¹ Nm²/kg², R = 6.300 km = 6,3×10⁶ m e a fórmula do volume de esfera com π=3.
Passo 2
Primeiro, lembra da Lei da Gravitação Universal aplicada à superfície:
Aqui g é a aceleração da gravidade na superfície, M é a massa da Terra e R é o raio. Isso vem de igualar F = G M m/R² com F = m g.
Passo 3
Isolando M nessa expressão:
Isso significa: massa da Terra em função de g, R e G.
Passo 4
Agora a densidade:
Substituindo M e V:
Passo 5
Bora botar os números (tudo em unidades SI):
R = 6,3×10⁶ m, g = 10 m/s², G = 6,6×10⁻¹¹, π = 3.
R = 6,3×10⁶ m, g = 10 m/s², G = 6,6×10⁻¹¹, π = 3.
Calculando o denominador:
4·3 = 12,
12·6,6 = 79,2,
79,2·6,3 ≈ 498,96 → mas tem o fator 10{-11+6}=10{-5}, então dá 498,96×10{-5}≈4,99×10{-3}.
Logo
4·3 = 12,
12·6,6 = 79,2,
79,2·6,3 ≈ 498,96 → mas tem o fator 10{-11+6}=10{-5}, então dá 498,96×10{-5}≈4,99×10{-3}.
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Resposta
A densidade aproximada é 5,9×10^3 kg/m^3, alternativa (b).