Duas ondas sonoras de mesma frequência, amplitude e fase inicial (ondas coerentes) são emitidas dentro de um tubo fino e viajam para frente (para a direita) ao longo dele como ondas unidimensionais. O comprimento de onda é 10 c m e a amplitude é 3 mm . O comprimento total do tubo é 1 m . Se ambas ondas são emitidas no mesmo instante, porém uma delas é emitida em um extremo e a outra é emitida na metade do tubo, calcule a amplitude da onda resultante medida (durante a interferência) no outro extremo do tubo. Despreze fenômenos de ressonância.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Comprimento de onda: \lambda = 10\\ \text{cm} = 0,10\\ \text{m}.
Amplitude de cada onda: A = 3\\ \text{mm} = 3{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}.
Comprimento do tubo: L = 1{,}0\\ \text{m}.
Uma onda é emitida no extremo esquerdo (posição x=0) e viaja para a direita.
A outra onda é emitida na metade do tubo (posição x=L/2=0{,}50\\ \text{m}) e também viaja para a direita.
As duas ondas têm mesma frequência e mesma fase inicial (coerentes) e são iniciadas no mesmo instante.
Pede-se a amplitude da onda resultante medida no outro extremo do tubo (ou seja, em x=L=1{,}0\\ \text{m}), durante a interferência. Desprezar ressonância.
Passo 2
Ideia física e fórmula geral que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
Quando duas ondas harmônicas de mesma frequência e amplitudes se somam, a resultante em um ponto é a soma ponto-a-ponto das duas oscilações (princípio da superposição).
Para ondas viajando para a direita, a forma geral de uma onda harmônica é, em termos de fase, algo como \cos(kx-\omega t+\phi_0), onde:
k é o número de onda, k=\dfrac{2\pi}{\lambda},
\omega é a frequência angular,
x é a coordenada do ponto observado,
t é o tempo,
\phi_0 é a fase inicial.
Se duas ondas têm a mesma frequência e fase inicial, a única diferença de fase entre elas num ponto de observação vem da diferença de caminho percorrido até esse ponto.
Portanto, a fase relativa entre as contribuições no ponto x=L é \Delta\varphi = k(d_1-d_2), onde d_1 e d_2 são as distâncias do ponto de observação até cada fonte.
Passo 3
Calcular as distâncias percorridas pelas ondas até o ponto de observação x=L.
Distância da fonte no extremo esquerdo (x=0) até x=L: d_1 = L = 1{,}0\\ \text{m}.
Distância da fonte na metade (x=L/2) até x=L: d_2 = L - L/2 = L/2 = 0{,}50\\ \text{m}.
Diferença de caminhos: \Delta x = d_1 - d_2 = 1{,}0 - 0{,}50 = 0{,}50\\ \text{m}.
Também convém expressar \Delta x em múltiplos de \lambda:
\frac{\Delta x}{\lambda}=\frac{0{,}50}{0{,}10}=5,
ou seja, a diferença de caminho corresponde a 5 comprimentos de onda.
Passo 4
Calcular o número de onda k e a diferença de fase \Delta\varphi.
Observação: como \Delta x=5\lambda, tem-se \Delta\varphi=2\pi\times5=10\pi, um múltiplo inteiro de 2\pi (portanto as ondas chegam com fase efetivamente igual modulo 2\pi).
Passo 5
Derivar a expressão da amplitude resultante quando duas ondas de mesma amplitude A e diferença de fase \Delta\varphi se somam.
Escrevendo as duas contribuições no ponto x=L (mesma \omega, mesma fase inicial =0):
onde \Delta\varphi=k(d_1-d_2). O valor absoluto aparece porque amplitude é magnitude positiva; o sinal possível apenas indica inversão de fase do sinal resultante, não diminui a magnitude.
A diferença de caminho corresponde a um número inteiro de comprimentos de onda (5\lambda), logo as duas ondas chegam com fase equivalente (diferença de fase múltipla de 2\pi). Isso leva a interferência construtiva máxima (amplitudes somam).
O resultado 6\\ \text{mm} é a amplitude máxima observada da onda resultante no extremo direito. O sinal negativo intermédiamente obtido nas fórmulas indica apenas uma possível inversão de fase do oscilador resultante, mas a magnitude (o que se mede como “amplitude”) é 6\\ \text{mm}.
Força aí — duas ondas iguais e coerentes, deslocamento por 5\lambda: somam perfeitamente.