Duas ondas sonoras de mesma frequência, amplitude e fase inicial (ondas coerentes) são emitidas dentro de um tubo fino e viajam para frente (para a direita) ao longo dele como ondas unidimensionais. O comprimento de onda é 10 c m e a amplitude é 3 mm . O comprimento total do tubo é 1 m . Se ambas ondas são emitidas no mesmo instante, porém uma delas é emitida em um extremo e a outra é emitida na metade do tubo, calcule a amplitude da onda resultante medida (durante a interferência) no outro extremo do tubo. Despreze fenômenos de ressonância.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Comprimento de onda: \lambda = 10\\ \text{cm} = 0,10\\ \text{m}.
  • Amplitude de cada onda: A = 3\\ \text{mm} = 3{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Comprimento do tubo: L = 1{,}0\\ \text{m}.
  • Uma onda é emitida no extremo esquerdo (posição x=0) e viaja para a direita.
  • A outra onda é emitida na metade do tubo (posição x=L/2=0{,}50\\ \text{m}) e também viaja para a direita.
  • As duas ondas têm mesma frequência e mesma fase inicial (coerentes) e são iniciadas no mesmo instante.
  • Pede-se a amplitude da onda resultante medida no outro extremo do tubo (ou seja, em x=L=1{,}0\\ \text{m}), durante a interferência. Desprezar ressonância.

Passo 2

Ideia física e fórmula geral que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Quando duas ondas harmônicas de mesma frequência e amplitudes se somam, a resultante em um ponto é a soma ponto-a-ponto das duas oscilações (princípio da superposição).
  • Para ondas viajando para a direita, a forma geral de uma onda harmônica é, em termos de fase, algo como \cos(kx-\omega t+\phi_0), onde:
    • k é o número de onda, k=\dfrac{2\pi}{\lambda},
    • \omega é a frequência angular,
    • x é a coordenada do ponto observado,
    • t é o tempo,
    • \phi_0 é a fase inicial.
  • Se duas ondas têm a mesma frequência e fase inicial, a única diferença de fase entre elas num ponto de observação vem da diferença de caminho percorrido até esse ponto.
  • Portanto, a fase relativa entre as contribuições no ponto x=L é \Delta\varphi = k(d_1-d_2), onde d_1 e d_2 são as distâncias do ponto de observação até cada fonte.

Passo 3

Calcular as distâncias percorridas pelas ondas até o ponto de observação x=L.
  • Distância da fonte no extremo esquerdo ( x=0) até x=L: d_1 = L = 1{,}0\\ \text{m}.
  • Distância da fonte na metade ( x=L/2) até x=L: d_2 = L - L/2 = L/2 = 0{,}50\\ \text{m}.
  • Diferença de caminhos: \Delta x = d_1 - d_2 = 1{,}0 - 0{,}50 = 0{,}50\\ \text{m}.
Também convém expressar \Delta x em múltiplos de \lambda:
\frac{\Delta x}{\lambda}=\frac{0{,}50}{0{,}10}=5,
ou seja, a diferença de caminho corresponde a 5 comprimentos de onda.

Passo 4

Calcular o número de onda k e a diferença de fase \Delta\varphi.
  • Número de onda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}10\\ \text{m}}=20\pi\\ \text{rad/m}.
  • Diferença de fase entre as duas contribuições no ponto x=L:
\Delta\varphi = k\,\Delta x = 20\pi \times 0{,}50 = 10\pi\\ \text{rad}.
Observação: como \Delta x=5\lambda, tem-se \Delta\varphi=2\pi\times5=10\pi, um múltiplo inteiro de 2\pi (portanto as ondas chegam com fase efetivamente igual modulo 2\pi).

Passo 5

Derivar a expressão da amplitude resultante quando duas ondas de mesma amplitude A e diferença de fase \Delta\varphi se somam.
  • Escrevendo as duas contribuições no ponto x=L (mesma \omega, mesma fase inicial =0):
y_1(t)=A\cos(kd_1-\omega t),\qquad y_2(t)=A\cos(kd_2-\omega t).
  • Soma:
y(t)=y_1+y_2 = A\cos(\alpha)+A\cos(\beta),
onde \alpha=kd_1-\omega t e \beta=kd_2-\omega t.
  • Usando a identidade trigonométrica \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\!\big(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\big), obtém-se
y(t)=2A\cos\!\Big(\frac{k(d_1+d_2)}{2}-\omega t\Big)\cos\!\Big(\frac{k(d_1-d_2)}{2}\Big).
  • A amplitude máxima da oscilação (envelope) é, portanto,
A_{\text{res}} = 2A\left|\cos\!\Big(\frac{\Delta\varphi}{2}\Big)\right|,
onde \Delta\varphi=k(d_1-d_2). O valor absoluto aparece porque amplitude é magnitude positiva; o sinal possível apenas indica inversão de fase do sinal resultante, não diminui a magnitude.

Passo 6

Aplicar a fórmula com os valores numéricos.
  • Já temos \Delta\varphi = 10\pi. Então
\frac{\Delta\varphi}{2}=5\pi.
  • Calculando o cosseno:
\cos\!\big(5\pi\big)=\cos(\pi)= -1.
  • Portanto
A_{\text{res}} = 2A\left|\cos\!\big(5\pi\big)\right| = 2A\cdot|{-1}| = 2A.
  • Substituindo A=3\\ \text{mm}:
A_{\text{res}}=2\times3\\ \text{mm}=6\\ \text{mm}.

Passo 7

Interpretação final rápida e motivação.
  • A diferença de caminho corresponde a um número inteiro de comprimentos de onda ( 5\lambda), logo as duas ondas chegam com fase equivalente (diferença de fase múltipla de 2\pi). Isso leva a interferência construtiva máxima (amplitudes somam).
  • O resultado 6\\ \text{mm} é a amplitude máxima observada da onda resultante no extremo direito. O sinal negativo intermédiamente obtido nas fórmulas indica apenas uma possível inversão de fase do oscilador resultante, mas a magnitude (o que se mede como “amplitude”) é 6\\ \text{mm}.
  • Força aí — duas ondas iguais e coerentes, deslocamento por 5\lambda: somam perfeitamente.

Resposta

6\\ \text{mm}

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