Dois sons com intensidades I_{1} e I_{2} em watts, possuem volumes \beta_{1} e \beta_{2} em decibéis, respectivamente. Dada a diferença de volume \beta_{1}-\beta_{2}, determine a razão I_{1} / I_{2} entre as intensidades. Obtenha a razão para uma diferença de 50 d B.

Passo 1

O enunciado diz que existem dois sons com intensidades I_{1} e I_{2} (em watts) e que seus níveis sonoros em decibéis são \beta_{1} e \beta_{2}, respectivamente. Pede-se:
  • Expressar a razão \dfrac{I_{1}}{I_{2}} em função da diferença de nível \beta_{1}-\beta_{2}.
  • Calcular essa razão quando a diferença é 50\\ \text{dB}.
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
  • I_{1} e I_{2}: intensidades (unidade: watt, embora o decibel use normalmente \text{W/m}^2 como referência; isso não muda a razão).
  • \beta_{1} e \beta_{2}: níveis em decibéis.
  • Queremos \dfrac{I_{1}}{I_{2}} em termos de \beta_{1}-\beta_{2} e o valor numérico para 50\\ \text{dB}.

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona intensidade com nível em decibéis. A definição padrão é:
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)
onde:
  • \beta é o nível em decibéis ( \text{dB}),
  • I é a intensidade sonora (em W, ou W/m ^2 dependendo da convenção),
  • I_0 é a intensidade de referência (uma constante, tipicamente I_0=10^{-12}\\ \text{W/m}^2, mas o valor específico não importa para razões porque ele cancela).
    Explicação didática: essa fórmula diz que o nível em decibéis mede quantas ordens de grandeza (em base 10) a intensidade I tem em relação a I_0, multiplicado por 10 por definição histórica.

Passo 3

Escrever a diferença de níveis usando a fórmula para cada som:
\beta_{1}=10\log_{10}\!\left(\frac{I_{1}}{I_0}\right), \qquad \beta_{2}=10\log_{10}\!\left(\frac{I_{2}}{I_0}\right).
Subtrair as duas equações:
\beta_{1}-\beta_{2} =10\log_{10}\!\left(\frac{I_{1}}{I_0}\right)-10\log_{10}\!\left(\frac{I_{2}}{I_0}\right).

Passo 4

Usar a propriedade dos logaritmos \log_{10}a-\log_{10}b=\log_{10}\!\left(\dfrac{a}{b}\right) para simplificar:
\beta_{1}-\beta_{2} =10\left[\log_{10}\!\left(\frac{I_{1}}{I_0}\right)-\log_{10}\!\left(\frac{I_{2}}{I_0}\right)\right] =10\log_{10}\!\left(\frac{I_{1}/I_0}{I_{2}/I_0}\right) =10\log_{10}\!\left(\frac{I_{1}}{I_{2}}\right).
Observe que I_0 cancela, por isso a razão de intensidades é independente da intensidade de referência.

Passo 5

Isolar a razão \dfrac{I_{1}}{I_{2}}. Divide-se ambos os lados por 10 e aplica-se a função inversa do \log_{10}, que é a potência de base 10:
\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{10}=\log_{10}\!\left(\frac{I_{1}}{I_{2}}\right) \quad\Rightarrow\quad \frac{I_{1}}{I_{2}}=10^{\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{10}}.
Explicação curta: se \log_{10}x = y então x = 10^{y}; aqui x=\dfrac{I_{1}}{I_{2}} e y=(\beta_{1}-\beta_{2})/10.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso numérico pedido: diferença \beta_{1}-\beta_{2}=50\\ \text{dB}.
\frac{I_{1}}{I_{2}}=10^{\frac{50}{10}}=10^{5}.
Calcular 10^{5}: isso é 100000. Interpretação rápida: um aumento de 50\\ \text{dB} corresponde a uma intensidade 100000 vezes maior.

Resposta

\displaystyle \frac{I_{1}}{I_{2}}=10^{\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{10}}
\displaystyle \frac{I_{1}}{I_{2}}\Big|_{\beta_{1}-\beta_{2}=50\\ \text{dB}}=10^{5}=100000

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