Quando um músico coloca uma corda de um violão, de comprimento 60 cm , para vibrar livremente, apenas com os extremos fixos, seu afinador marca 82 Hz . Logo após, com a corda ainda vibrando, ele encosta levemente o dedo na corda, sem apertá-la contra o braço do violão, a uma distância de
do centro. Calcule qual passa a ser a marcação do afinador?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (apenas listar informações, sem resolver ainda):
- Comprimento da corda:
. - Afinação da corda quando vibra livremente (extremos fixos):
. - Com a corda ainda vibrando, o músico encosta levemente o dedo na corda a uma distância de
do centro da corda. - Pergunta: qual passa a ser a marcação do afinador (ou seja, qual a nova frequência percebida) depois desse toque leve?
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O ponto tocado fica a
do centro; como o centro está a de cada extremidade, o ponto tocado fica a de uma extremidade (e a da outra). Vou usar essa posição de a partir de uma extremidade para os cálculos.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e simples):
- Uma corda de comprimento
com extremos fixos admite modos normais (harmônicos) com comprimento de onda e frequência dadas por
onde:
-
é um inteiro positivo ( ) chamado número do harmônico (ou modo), -
é a velocidade da onda na corda, -
é a frequência do -ésimo harmônico. - Da equação acima segue uma relação simples entre as frequências: a frequência do
-ésimo harmônico é
onde
é a frequência do modo fundamental (
). Aqui
é a frequência indicada inicialmente (
).
-
Quando se encosta levemente o dedo num ponto da corda (sem pressionar no braço), esse ponto fica forçado a ser um nó (fixed displacement = 0) — na prática, isso impede modos que teriam deslocamento não nulo ali e deixa apenas os modos que têm nó exatamente naquele ponto. Portanto só sobrevivem os harmônicos cujos padrões têm um nó nessa posição.
-
Os nós de um modo
aparecem em posições múltiplas de ao longo da corda (incluindo as extremidades). Ou seja, os nós estão em para inteiros . Portanto, para que um modo admita um nó na posição (medida a partir de uma extremidade), deve valer
para algum inteiro
. Isto implica que
deve ser um número inteiro. Em termos práticos: escreva a fração
em forma irredutível; então
precisa ser múltiplo do denominador dessa fração para haver um nó em
.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: posições e fração da corda.
- Comprimento total:
. - Ponto tocado (a partir de uma extremidade):
(veja Passo 1). - Calcular a fração do comprimento:
Portanto o ponto tocado está em
do comprimento a partir de uma extremidade.
Passo 4
Determinar quais modos têm nó em
.
- Como
, a condição inteiro torna-se inteiro. Isso significa que deve ser múltiplo de :
- O menor modo possível (o mais grave dentre os permitidos) é o primeiro múltiplo de
, ou seja . Esse será o modo predominante que o ouvido/afinador irá perceber depois do toque leve (os modos mais altos existem, mas têm amplitude menor; o primeiro modo permitido é o dominante).
Passo 5
Calcular a nova frequência percebida.
- Pelo resultado geral
, com e :
Passo 6
Verificação rápida (controle de consistência) — checagem usando comprimento de onda:
- Para
,
- Nós ocorrem a cada
, portanto haverá um nó exatamente em da extremidade — consistente com o ponto tocado. Isso confirma que é correto e que faz sentido.
Resposta
492 Hz