Quando um músico coloca uma corda de um violão, de comprimento 60 cm , para vibrar livremente, apenas com os extremos fixos, seu afinador marca 82 Hz . Logo após, com a corda ainda vibrando, ele encosta levemente o dedo na corda, sem apertá-la contra o braço do violão, a uma distância de 20 c m do centro. Calcule qual passa a ser a marcação do afinador?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (apenas listar informações, sem resolver ainda):
  • Comprimento da corda: L=60\\ \text{cm}.
  • Afinação da corda quando vibra livremente (extremos fixos): \;f_1=82\\ \text{Hz}.
  • Com a corda ainda vibrando, o músico encosta levemente o dedo na corda a uma distância de 20\\ \text{cm} do centro da corda.
  • Pergunta: qual passa a ser a marcação do afinador (ou seja, qual a nova frequência percebida) depois desse toque leve?
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O ponto tocado fica a 20\\ \text{cm} do centro; como o centro está a 30\\ \text{cm} de cada extremidade, o ponto tocado fica a 30-20=10\\ \text{cm} de uma extremidade (e a 30+20=50\\ \text{cm} da outra). Vou usar essa posição de 10\\ \text{cm} a partir de uma extremidade para os cálculos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e simples):
  • Uma corda de comprimento L com extremos fixos admite modos normais (harmônicos) com comprimento de onda \lambda_n e frequência f_n dadas por
\lambda_n=\frac{2L}{n},
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n v}{2L},
onde:
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots) chamado número do harmônico (ou modo),
  • v é a velocidade da onda na corda,
  • f_n é a frequência do n-ésimo harmônico.
  • Da equação acima segue uma relação simples entre as frequências: a frequência do n-ésimo harmônico é
f_n=n f_1,
onde f_1 é a frequência do modo fundamental ( n=1). Aqui f_1 é a frequência indicada inicialmente ( 82\\ \text{Hz}).
  • Quando se encosta levemente o dedo num ponto da corda (sem pressionar no braço), esse ponto fica forçado a ser um nó (fixed displacement = 0) — na prática, isso impede modos que teriam deslocamento não nulo ali e deixa apenas os modos que têm nó exatamente naquele ponto. Portanto só sobrevivem os harmônicos cujos padrões têm um nó nessa posição.
  • Os nós de um modo n aparecem em posições múltiplas de L/n ao longo da corda (incluindo as extremidades). Ou seja, os nós estão em x=k\cdot \dfrac{L}{n} para inteiros k. Portanto, para que um modo n admita um nó na posição x (medida a partir de uma extremidade), deve valer
x = m\frac{L}{n}
para algum inteiro m. Isto implica que n\frac{x}{L} deve ser um número inteiro. Em termos práticos: escreva a fração \dfrac{x}{L} em forma irredutível; então n precisa ser múltiplo do denominador dessa fração para haver um nó em x.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: posições e fração da corda.
  • Comprimento total: L=60\\ \text{cm}.
  • Ponto tocado (a partir de uma extremidade): x=10\\ \text{cm} (veja Passo 1).
  • Calcular a fração do comprimento:
\frac{x}{L}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}.
Portanto o ponto tocado está em \dfrac{1}{6} do comprimento a partir de uma extremidade.

Passo 4

Determinar quais modos têm nó em x.
  • Como \dfrac{x}{L}=\dfrac{1}{6}, a condição n\frac{x}{L} inteiro torna-se n\cdot\frac{1}{6} inteiro. Isso significa que n deve ser múltiplo de 6:
n\in\{6,12,18,\dots\}.
  • O menor modo possível (o mais grave dentre os permitidos) é o primeiro múltiplo de 6, ou seja n=6. Esse será o modo predominante que o ouvido/afinador irá perceber depois do toque leve (os modos mais altos existem, mas têm amplitude menor; o primeiro modo permitido é o dominante).

Passo 5

Calcular a nova frequência percebida.
  • Pelo resultado geral f_n = n f_1, com n=6 e f_1=82\\ \text{Hz}:
f_6=6\cdot 82 = 492\\ \text{Hz}.

Passo 6

Verificação rápida (controle de consistência) — checagem usando comprimento de onda:
  • Para n=6,
\lambda_6=\frac{2L}{6}=\frac{2\cdot 60\\ \text{cm}}{6}=20\\ \text{cm}.
  • Nós ocorrem a cada \lambda_6/2=10\\ \text{cm}, portanto haverá um nó exatamente em 10\\ \text{cm} da extremidade — consistente com o ponto tocado. Isso confirma que n=6 é correto e que f_6=492\\ \text{Hz} faz sentido.

Resposta

492 Hz

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