1. Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes, respectivamente \nu e \nu+\Delta \nu, \lambda e \lambda+\Delta \lambda. Mostre que as razões |\Delta \nu / \nu| e |\Delta \lambda / \lambda| são aproximadamente iguais. Considere que as ondas se propagam no vácuo.

Passo 1

O enunciado diz que duas ondas no vácuo têm frequências \nu e \nu+\Delta\nu e comprimentos de onda \lambda e \lambda+\Delta\lambda. Precisamos mostrar que as razões \bigl|\Delta\nu/\nu\bigr| e \bigl|\Delta\lambda/\lambda\bigr| são aproximadamente iguais. O conteúdo principal é a relação de dispersão em meios sem dispersão (vácuo), isto é, a velocidade da onda c é constante e vale c=\lambda\,\nu.

Passo 2

Em primeiro lugar, usamos a relação fundamental para ondas no vácuo:
c = \lambda\,\nu.

Passo 3

Como c é constante, para as quantidades ligeiramente diferentes temos
(\lambda + \Delta\lambda)\,(\nu + \Delta\nu) = c.

Passo 4

Expanda o produto à esquerda:
(\lambda + \Delta\lambda)(\nu + \Delta\nu) = \lambda\,\nu + \lambda\,\Delta\nu + \nu\,\Delta\lambda + \Delta\lambda\,\Delta\nu.

Passo 5

Sabemos que \lambda\,\nu = c, então
\lambda\,\Delta\nu + \nu\,\Delta\lambda + \Delta\lambda\,\Delta\nu = 0.
Como \Delta\lambda e \Delta\nu são pequenos, o termo de segunda ordem \Delta\lambda\,\Delta\nu pode ser desprezado. Logo,
\lambda\,\Delta\nu + \nu\,\Delta\lambda \approx 0.

Passo 6

Dividindo ambos os lados por \lambda\,\nu, obtemos
\frac{\Delta\nu}{\nu} + \frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx -\,\frac{\Delta\nu}{\nu}.

Passo 7

Tomando o valor absoluto em ambos os lados fica
\bigl|\tfrac{\Delta\lambda}{\lambda}\bigr| \approx \bigl|\tfrac{\Delta\nu}{\nu}\bigr|,
ou seja, as razões relativas são aproximadamente iguais.

Resposta

\displaystyle \bigl|\tfrac{\Delta\nu}{\nu}\bigr|\approx\bigl|\tfrac{\Delta\lambda}{\lambda}\bigr|.

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